内容提要

本书介绍了逻辑基本知识以及数学教学中有关的逻辑问题.本书有两个特色：一是打破了数学教育界里的“数理逻辑无用论”的误区，把数理逻辑的最基础的知识引进来.二是研究了数学特有的逻辑现象，有涉及逻辑的习题的解法研究和涉及逻辑的数学课教学研究.

本书分三篇.第一篇是逻辑基础知识篇，分别讲述概念、判断、推理、论证等，其中包括数学里的特殊逻辑现象，如“抽屉原理、平均值原理和零积原理”， “一致型命题和特殊值法”等.第二篇是习题篇，主要研究涉及逻辑知识比较多的数学习题（本书暂把它叫做“涉逻”习题）的解法研究，如“存在问题的解法”，“‘恒成立’问题的解法”.第三篇是数学中逻辑知识的教学研究和教学案例.

本书可供中学数学教师学习参考.

序

学逻辑，用逻辑，研究数学中的逻辑数学离不开逻辑，这是大家的共识，因此，数学教师毫无异议的应该具有比较良好的逻辑素养.有一段时间里，好多大学校长是数学家，就是中学里，也是有好多名校的校长是数学教师.这说明，学数学的人，有一种特殊的优势，而思考问题时逻辑性比较强，可能是这种优势的一个主要方面.笔者还注意到，好多中学里，数学教研组往往是最团结，最和谐的.其原因可能是因为在数学里，答案是用逻辑推理得到的，对就是对，错就是错，因此，哪位老师行，哪位老师不太行，标准比较客观，这样，“文人相轻”的现象就比较少了，于是就比较容易达到认识的统一，进而形成集体的团结.

但是，由于我国从基础教育到高等教育，学生都没有完整地学过逻辑学，甚至师范大学数学系的大部分学生也没有学过逻辑学，所以，中学数学教师的逻辑知识是不完整的.即使学习过一点逻辑知识，有的是从语文课里学到的“形式逻辑”（现在常称为传统逻辑），没有数学特色；有的是从大学选修课数理逻辑里学到的，过于艰深，不经过自己的消化和摸索，很难用到自己的教学中去.所以中学数学教师的逻辑知识掌握得并不完美.正因为中学数学教师的逻辑知识掌握得不完整，不完美，笔者在1990年曾经发表过《从数学教师几种流行说法看学点逻辑的必要性》陈永明.从数学教师几种流行说法看学点逻辑的必要性.数学通报，1990，3和《从一道高考题的错证看学点数理逻辑的必要性》陈永明.从一道高考题的错证看学点数理逻辑的必要性.数学教学，1990，1两篇文章，呼吁中学数学教师要学点逻辑.

在中学生中，问题更为严重.根据我们的调查，中学生对数学化语言的掌握，问题最严重的就是涉及“每一个”、“有一个”、“充分”等有关逻辑的词陈永明，阮夏丽等.数学教学中的语言问题（修订版）.上海：上海科技教育出版社，2009.

那么，我们应该掌握哪些逻辑知识？怎样学习逻辑知识呢？完完整整地学习逻辑学理论固然好，但是，这样做要花费很多时间和精力.比较有效的做法是，学习一些和数学教学紧密相关的逻辑知识.

数学在使用逻辑方面有它独特的地方，从中学数学而言，至少有以下几点：

第一， 在进行数学推理时，只能用演绎法和完全归纳法，而不能用实验、不完全归纳与类比，更不能以某某伟人的话作为推理的依据.这样说，并不是贬低实验、不完全归纳与类比的作用.毛泽东曾经说过，要学点逻辑，但同时又说，逻辑是得不出新东西的，因为逻辑推得的结论其实都蕴涵在前提里了.实验、不完全归纳与类比，这些方法在人类发展中起到了极大的作用，在数学教学中也有很大作用.课程改革所大力提倡的探究性学习，就离不开这些方法.

第二，既然数学强调演绎推理，那么论证就有个依据问题.一个A论题的依据是B，B的依据又是C，…，打破砂锅问到底，最后的依据是什么呢？数学里是采用公理化体系的办法来处理.这和其他学科完全不同.

第三， 从微观上说，数学里的命题结构特别复杂；数学里强调定义的作用，它是讨论问题的出发点；数学中引进变元，但又使用自然语言（特别在中学数学教学中），所以在表达上处于“半形式化”状态；数学里还有一些特别有“逻辑味”的论题和习题，譬如，“一致型命题”、“平均值原理”、“存在性问题”、“恒成立问题”……

鉴于数学中的逻辑有这么多的特点，因此希望大家都来学点逻辑，特别要学习与数学相关的逻辑知识，用逻辑研究和数学相关的逻辑问题.研究数学特有的逻辑现象，这个工作对中学数学教师来说很重要.笔者早年曾经对此做了一点工作： 发表过一些论文，提出了“一致型命题”和“平均值原理”等原创性的观点陈永明.一致性命题和赋值法.数学通报,1990,12陈永明，毛之阶.平均值原理.数学通报，1992,7；对含逻辑知识的数学课的教学进行了研究陈永明.“命题的否定”的作用和求法.数学教学，1991,5陈永明.逻辑量词“每一个”和“有一个”.数学教学，1996,2陈永明.要重视在数学教学中运用必要的同义反复.上海中学数学，1990,2，还做了一个试验陈永明等.在高三学生中进行逻辑量词教学的实验.数学教育学报,1998,7；主编过比较强调系统性的《数学教学逻辑》（上海市中学数学教师继续教育教材）陈永明主编.数学教学逻辑.上海：上海教育出版社，1994.本书想以数学教师关心的问题为出发点，专题式地展开，这样可大大增加可读性.

本书的编写宗旨，一是介绍一般的逻辑知识，包括数理逻辑的最基础的知识.传统逻辑通常讲概念、判断、推理、论证；数理逻辑包括命题演算和谓词演算两部分.两者难以融合.我们采取了“拿来主义”的态度，根据数学教师的需要，在传统逻辑和数理逻辑中选择有用的部分.历来在数学教育界有个误区，那就是“数理逻辑无用论”： 数理逻辑对中学数学来说是没有用的.其实数理逻辑中的最基础的知识，譬如，量词“每一个”和“有一个”，中学数学里经常在使用.把数理逻辑的最基础的知识引进来，是本书的一个特色.

二是作为数学，在使用逻辑方面有自己的特点.本书在研究数学特有的逻辑现象方面，在涉及逻辑的习题的解法研究方面，在涉及逻辑的数学课教学研究方面，作进一步的努力.这是本书的又一个特色，并且是最重要的特色.

本书分三篇.第一篇是逻辑基础知识篇，分别讲述了概念、判断、推理、论证等，其中包括数学里的特殊逻辑现象，如“抽屉原理”、“平均值原理和零积原理”与“一致型命题和特殊值法”等.第二篇是习题篇，主要研究涉及逻辑知识比较多的数学习题（本书暂把它叫做“涉逻”习题）的解法研究，如“存在性问题的解法”、“‘恒成立’问题解法”等.第三篇是“涉逻”的数学内容的教学研究和教学案例.

本书的对象是中学数学老师，为了让初中高中数学老师各有所得，其中涉及高中数学的知识和例题都用仿宋体印刷.有些内容比较艰深，特用小字号排印，供有兴趣的读者阅读.愿这本书能够给读者，特别是初登讲台的青年教师有所帮助.

需要说明的是，本书的作者都不是逻辑学家，在逻辑方面一定有不到位的地方，敬请逻辑专家、数学教育专家和广大数学教师指正.

陈永明于上海徐汇区教师进修学院

2008年10月