致谢

我们要感谢纽约市立大学(City University of New York，CUNY)城市学院(City College)的贾布隆斯基(Stephen Jablonsky)教授，他利用自己的多方面才能展示了斐波那契数不同寻常地出现在音乐领域之中，从作曲构思到乐器设计。

迪亚斯(Ana Lucia B.Dias)教授广泛地讨论了斐波那契数在分形领域中的出现，值得我们衷心感谢。

我们亲爱的朋友豪普特曼(Herbert A.Hauptman)博士是公认的第一位获得诺贝尔奖(1985年的诺贝尔化学奖)的数学家，他为本书撰写了一篇振奋人心的跋。这篇巅峰之作将给读者带来一个挑战，甚至可能带来一些以前从未发现过的要素。

在与我们的朋友——洛斯公司(Loews Corporation)总裁兼首席执行蒂施(James S.Tisch)的一次谈话中，他提到了斐波那契数列在经济学领域中的许多应用。对此，他提供了很多信息，于是我们在此基础上将这一主题完善后也写入了本书。为此，我们要感谢他。

作者莱曼博士感谢文森特(TristanVincent)间或提供的支持，正是文森特帮助他找到最能表达自己想法的正确英语单词。

我们还要感谢(德国)海德堡教育大学(Pdagogische Hochschule)的菲勒(Andreas Filler)教授、柏林洪堡大学(Humboldt University)的赫尔维希(Heino Hellwig)，以及柏林海因里希-赫兹高中(HeinrichHertz Gymnasium)的勒德克(HansPeter Ludtke)，感谢他们在本书撰写过程中给我们的一些宝贵意见。

一本书的成功通常得益于多方面的支持。本项目开发过程中，我们得到了可信赖的指导，为此我们要感谢里根(Linda Greenspan Regan)，她不断地给我们建议，使这本书尽可能地吸引广大读者；还要感谢内容编辑迪默(Peggy Deemer)，她一如既往地出色编辑了手稿。考虑到本书内容错综复杂，这绝非易事。

当然，我们要分别感谢芭芭拉和萨宾，感谢她们在我们撰写此书过程中所给予的鼓励、支持和耐心。

引言

神奇的斐波那契数

在奥地利阿尔卑斯山的一个偏远地区，有一座废弃已久的盐矿，其入口处的一块碑石上刻着“anno 1180”，意思是这座盐矿建立于1180年。然而这个铭文显然有问题。据专家考证，西方国家首次在出版物中采用印度数字(如今被称为阿拉伯数字)是在1202年。正是在这一年，比萨的莱昂纳多(Leonardo Pisano)即人们所熟知的斐波那契(Fibonacci)出版了一部影响巨大的作品——《计算之书》(Liber Abaci)。这本书的第1章开篇写道：

这9个印度数字是：9，8，7，6，5，4，3，2，1。

有了这9个数字，再加上阿拉伯人称之为“zephyr”的符号0，就可以写出任何数。

这是西方世界首次正式提到十进制数。不过，有人猜测，阿拉伯人在10世纪下半叶已经在西班牙非正式地引入了这些数字。

与过去那些因一部成名作而名垂青史的杰出人物［如歌剧《卡门》(Carmen)的作者比才(Georges Bizet)，歌剧《糖果屋》(Hnsel und Gretel)的作者洪佩尔丁克(Engelbert Humperdinck)，小说《麦田里的守望者》(The Catcher in the Rye)的作者塞林格(J.D.Salinger)］不同的是，斐波那契这位数学家的贡献可不只是那串以他的名字命名的数列而已。他是西方最伟大的数学家之一，并且毫无疑问是那个时代的数学思想引领者。而如今人们对他印象最深的，则是那个源于兔子繁殖问题的数列。

斐波那契是一位严谨的数学家，他年轻时在布吉亚学习数学。布吉亚是非洲巴巴拉海岸的一个小镇，由来自比萨的商人建立。斐波那契在往返中东各地经商的途中遇见了一些数学家，并与他们进行了认真的探讨。他熟悉欧几里得(Euclid)欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”。他所著的《几何原本》(Elements)是世界上最早公理化的数学著作，为欧洲数学的发展奠定了基础。——译注的方法，并利用这些技能将数学以非常实用的形式带给了欧洲人。他的贡献包括引入了实用的记数系统、计算算法和代数方法，以及对分数的新处理方式等。结果，托斯卡纳的学校很快就开始教授斐波那契的计算方法，放弃使用算盘(算盘是将珠子串在绳上计数，然后用罗马数字记录所得的结果)。这种计算方法推动了数学学科迅速向前发展，因为使用烦琐的符号是不可能实现复杂运算的。他的著作和一些后续出版物极具创新价值，在西欧引发了数学应用和思维的巨大变革。

遗憾的是，斐波那契如今的高知名度并不是因为这些最重要的创新。在《计算之书》的第12章，斐波那契提到了一个关于兔子繁殖的问题。虽然这个问题有点烦琐，但它为大量不朽的思想铺平了道路，使斐波那契声名远播。本书第1章的表1.1列出兔子的数量逐月变化的数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…。这个数列如今被称为斐波那契数列。起初，你可能会奇怪：这个数列为何如此引人注目？再仔细看，你就会发现：这个数列是可以无限延续下去的，因为它从两个1开始，然后每次将最后两个数相加得到下一个数(即1+1=2，1+2=3，2+3=5，以此类推)，从而获得后续各项。单独地看这个数列，它并不算特别有吸引力。不过，正如你将看到的，在整个数学领域中，没有任何数像斐波那契数那样无处不在。它们出现在几何学、代数学、数论和许多其他数学分支中。更令人惊叹的是，它们还出现在自然界中。例如，松果表面螺旋排列的鳞片的数量是斐波那契数，同样，菠萝表面螺旋排列的果眼的数量也是斐波那契数。在自然界中，斐波那契数似乎无处不在。各种树木的枝条排列，蜜蜂家族中每一代雄性蜜蜂的繁殖数量，都包含着斐波那契数。关于斐波那契数的例子不胜枚举。

在本书中，我们将探讨斐波那契数的许多表现形式，以便激励你到自然界中去寻找斐波那契数的其他实例。本书还将对这些数的不寻常性质进行深入浅出、富含启发性地讨论。它们将与数学中一些看似完全不相关的其他各方面进行关联，打开通往一系列其他应用领域的大门，甚至如股票市场这般遥远的领域。

我们希望本书能成为你了解这些神奇数的导引。首先，我们将为你提供斐波那契数的发展之路，也可以说是一段历史。然后，我们将按主题领域来“目击”这些数。例如，在几何学中，我们将探索它们与最美丽的比例即黄金分割比本书将对黄金分割比进行深入探讨(包括其在几何学和艺术领域的应用)，以便读者能够真正欣赏它，进而了解黄金分割比与斐波那契数列的关系。黄金分割比通常用希腊字母来表示。——原注之间的关系。如果对斐波那契数的各组相继数求商，其结果就会逼近黄金分割比：

=1.6180339887498948482045868343656…

数值越大的两个相继的斐波那契数，其商越接近黄金分割比。

例如，考虑相对较小的一对相继斐波那契数的商：

138=1.625

然后考虑较大的一对相继斐波那契数的商：

5534=1.6176·470588235294117·最后16位数字中，首末两个数字上方的圆点表示这16位数字是无限循环的。——原注

再考虑更大的一对相继斐波那契数的商：

14489=1.6·1797752808988764044943820224719101123595505·

注意到这些越来越大的商似乎围绕着黄金分割比，并且当我们取越大的相继斐波那契数时，它们的商就会越接近黄金分割比。例如：

41812584=1.6180340557275541795665634674923…

165580141102334155=1.618033988749894890909100680999418033988…第40个斐波那契数是102334155，第41个斐波那契数是165580141。——原注

请将最后一个商与黄金分割比进行比较：

=1.6180339887498948482045868343656…

最后，我们还将讨论黄金分割比本身的性质和荣耀。它在建筑和艺术中的出现绝非偶然。如果你画一个矩形，用它把希腊雅典的帕台农神庙的主视图围起来，你就会得到一个黄金矩形，即它的长宽比等于黄金分割比。许多艺术家都在他们的艺术作品中运用了黄金矩形。例如，中世纪著名的德国画家丢勒(Albrecht Dürer)丢勒，文艺复兴时期德国油画家、版画家、雕塑家及艺术理论家。——译注的画作《亚当与夏娃》(Adam and Eve)，就把画中的人物框在一个黄金矩形之中。

有趣的是，直到法国数学家卢卡斯(Edouard Lucas)在19世纪下半叶研究了斐波那契数列之后，斐波那契数列才得到人们的关注并得以命名。卢卡斯聚焦于这个数列的初始数，如果初始数是1和3，而不是1和1，结果会怎么样？他遵循斐波那契数列的叠加规则生成一个新数列，然后将其与斐波那契数列进行比较。卢卡斯的数列是：1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…，它与斐波那契数列之间有着密切的联系，我们稍后将对其进行探讨。

斐波那契数列几乎无处不在，应用广泛。我们将展示一些关于斐波那契数列的趣味数学，以及一些意义非凡的性质。无论是非数学专业的读者，还是精通数学的读者，都将为之着迷。你将会被这些美妙的数折服，并且很可能会不断地在意识中寻找你自己“目击”过的斐波那契数。在本书中，我们希望能吸引不同层面的读者，但始终以普通读者为主要考虑对象。对于那些比较精通数学的读者，我们提供了一个附录，其中包含了本书提到的各种命题的证明。我们的目标是唤起所有读者对数学的力量和数学之美的兴趣。

我们最近发现，斐波那契数列在早期印度数学著作中曾经被描述过Parmanand Singh,“cārya Hemacandra and the (socalled) Fibonacci Numbers,” Mathematics Education 20, no.1 (1986): 28-30.——原注，它们最早出现在梵文语法学家平加拉(Pingala)的《韵律的艺术》(Chandahsūtras)一书中，被称为“大量节奏”(mātrāmeru)。较为完整的论述记载于维拉汗卡(Virahānka)和月天阿阇黎(cārya Hemacandra)的著作中。据推测，斐波那契可能是从他的阿拉伯资源中得知这些数，这些资源使他接触到了那些印度著作。

1564年去世的德国计算大师雅各布(Simon Jacob)雅各布是德国最著名的计算大师之一。1557年，他出版了一本关于算术计算的练习册，其中对计算的技巧提出了深刻的见解(Rechenbuch auf den Linien und mit Ziffern, 1557; Ein New und Wolgegriindt Rechenbuch,1612)。——原注在去世前不久，首次发表了黄金分割比与斐波那契数列之间的关联，但这似乎只是一个次要的注释。Peter Schreiber,“A Supplement to J.Shallits Paper ‘Origins of the Analysis of the Euclidean Algorithm,’” Historia Mathematica 22(1995):422-424.——原注雅各布发表了黄金分割比的数值解。他在讨论欧几里得的《几何原本》第七卷的命题2的欧几里得算法时，在页边空白处写下了斐波那契数列的前28项，并指出：

遵循这个数列，我们会越来越接近《几何原本》第二卷的命题11和第六卷的命题30所描述的那个比例，虽然我们会越来越接近这个比例，但不可能达到或超过它。