内容提要

本书作者根据张景中院士的“中巧说”，即“用一个方法解出一类题目.也就是说，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法”的思想，曾提出过“将解题经验算法化、显性化”的观点，并提出过“解题模块”和“命题联想系统”的算法化、显性化的两个具体做法.

依据这个指导思想，本书挑选了高中数学的部分内容，精心选择、精心编排例题，进行归类研究，并作精心的讲评，力图寻找解题的规律，使之有章可循.

本书凝聚了老中青三代优秀教师的智慧，特别是“抽象函数的解题策略”、“不等式恒成立问题”、“限位排列题的解题模块”、“三角比中常用的组块”、“条件求最值”、“球面距离与‘旗帜三角形’”、“三类存在问题”、“求函数解析式”、“由a2+b2=1联想到的”等文章不落俗套，匠心独运，亮点多多.

本书的对象是高中数学教师，也可供高中学生参考.本书选取的题大多属于中等或中等偏上的难度，适合高一、高二的教学和高三高考以及高校自主招生考试复习用.序

习题教学是数学教学中的重灾区，学生陷入题海，苦不堪言；教师难于应付，身心疲惫，是到了应该想想办法的时候了.造成这种现象的原因是多方面的，但教师还是可以有所作为，并且应该有所作为.

张景中院士十分关注中小学数学，并提出了“教育数学”的思想，他在谈到解题的时候，说过一段精彩的话：“练武功的上乘境界是‘无招胜有招’.但武功仍要从一招一式入门.解题也是如此……这种‘无招胜有招’的境界，就是‘大巧’吧！但是小巧固不足取，大巧也确实太难，对于大多数学子，还要重视有章可循的招式……大巧法无定法，小巧一题一法.中巧呢，则希望用一个方法解出一类题目.也就是说，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，即算法.”

笔者把它称为“中巧说”.笔者读了这番话之后，想法很多.

笔者自忖，自己不过是中等资质的人，因此，学习时需要总结类型.笔者从教50年，在进行教学时，也喜欢总结规律.那些大数学家，可能特别聪明，不要记忆，不要总结，仅凭灵感，就可以创造出新的理论来.现在看来并不是如此.原来像一流数学家张景中这样的院士学习解题时也是整理类型，寻找通法，在较高的起点上研究创新.从这个意义上说，通法、类型(模式)与创新是不矛盾的.

张院士的这番话，不但指出了要总结类型，而且要“寻求可以机械执行的方法，即算法”.这是数学教学的一个全新的观点，对改进数学教学意义重大.请注意，这里用了“算法”一词.

算法的特征是什么？笔者理解，或许一是，“什么情况”下该用某种方法——识别；二是当识别结果是“yes”时，解决问题的步骤是怎样的.不少教师也总结规律，但往往达不到这样的深度.

笔者和一些中青年教师曾经一起编写过一本《数学习题教学研究》陈永明名师工作室，数学习题教学研究，上海教育出版社，2010年(笔者感谢张院士为该书作序)，该书就是以“中巧说”为指导思想，探索数学习题教学的一些原则和做法.

在那本书里，提出了把解题经验算法化、显性化的观点，提出了“解题模块”和“命题联想系统”两个算法化、显性化的具体做法.前者是针对“某一类型”的题，寻找它的解题程序.但中学阶段的数学题不完全都有“套路”，譬如平面几何题，这时候，“中巧”可能体现在：你看到题目条件(或定理、法则)时，能够联想到它可以推出哪些新的命题；看到题目的结论时，联想到哪些命题可以推出它——即命题联想系统.笔者认为，这也应该是“中巧”的体现.

本书实际上是《数学习题教学研究》具体化.把高中数学题中某些类型、某些经验，尽量做些规律性、甚至程序化的归纳和点拨，特别是解题模块、命题联想系统、基本图形的研究、“组块”的研究等，是本书主要的特色.

“中巧说”可能是丰富多彩的数学解题教学中的一个流派.有同志担心，这样教法，会不会把学生教呆了.有这个担心是很自然的.

落实“中巧说”是一件重要的工作，怎样促使中巧向大巧过渡，是一项更艰巨的工作，需要广大教师和专家进一步研究.

笔者主张寻找解题规律，但不要把规律教死，要引导学生从中巧逐步向大巧过渡，正像有的专家说的：要有套路，又要突破套路.对此我们也有一些思考.

首先我们强调师生共同总结，这样，不但能够让学生掌握某类数学题的解法或思路，而且可以大大提高学生归纳总结的能力.上海老一辈的数学教育家赵宪初先生说过“要先举三反一，才能举一反三”.因此，本书各节的编写，总是先出现一组例题，然后归纳规律(举三反一)，然后再出现一些变式例题和练习(举一反三).

再有，不能把总结出来的东西变成让学生死记硬背的教条，要突出问题及其解法的本质，突出数学思想.

另外，在《数学习题教学研究》中，笔者提出分析解题思路时要“有序分析”，提出了“思考时通法优先，落笔时优法优先”，还提出了“先估后算”、“寻找巧法”等策略.再加上其他的一些行之有效的措施，如一题多解、变式训练、开放题、课题学习，等等，中巧是可以向大巧过渡的.

以上说的，是我们对数学习题教学的一些看法，我们的认识是否正确，工作是否合理，是否到位，有待于广大教师和专家的鉴定，欢迎大家批评指正.

本书没有面面俱到，只是选取了部分专题进行了探讨.

本书选取的题大多属于中等或中等偏上的难度，特别适合高一、高二的教学和高三高考复习用，对于近年来高校自主招生考试也有益处.

本书除了“解”之外，还重视“评”.“评”采取多种形式：

带总结性的议论我们标为“小结”，小一点的点拨标为“讲评”，这些评议，包括了解题模块、命题联想系统的总结，解题思路的点拨，关键点的指出，教学建议，等等.有些小经验我们用箭头在文旁指出.个别文章，还加了“主编的话”.

学习者的疑惑、错解的剖析，我们用“拓展”标注.

习题背景的分析，我们用“链接”标注.

“评”是比“解”本身难得多的工作，特别是关于解题模块和联想系统的总结，由于水平的关系，可能做得还不够.

我国是解题大国，解题经验值得认真总结.在《数学习题教学研究》的基础上，我们还在探索，本书提出的“组块”的概念，提出的“非逻辑联想”，就是一些新的心得.

笔者年事已高，虽然本书定名为《陈永明讲评数学题》，其实本人负责策划、审稿和统稿，各篇均由上海市西南位育中学的优秀中青年教师执笔(华东理工大学附中部分教师也参与了一些工作)，最后由经验丰富的老专家陆云庭老师审读全部书稿.执笔者都十分认真，许多稿子都经过了五六遍的修改，才得以定稿，整个编写过程历时一年之久.编写过程中，本书副主编、中国教育数学学会理事、西南位育中学数学教研组组长阮夏丽老师做了大量的工作，还得到了西南位育中学张建中校长、华东理工大学附中童立贤校长的大力支持。在此，对我的合作者，表示感谢.

陈永明

2012年10月于上海

时年七十又二