序言

无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响着人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励着人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清……

——希尔伯特(David Hilbert)

无穷大是一个深不可测的海湾，所有的东西都会在其中消失。

——奥里利厄斯(Marcus Aurelius)，罗马皇帝和哲学家

有一个故事据说出自杰出的数学家希尔伯特之口，上述第一条引语就是他说的。一个深夜，一个男人走进一家旅馆想要一个房间。店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间了，但是让我们看一看，或许我最终能为您找到一个房间。”然后，店主离开他的桌子，很不情愿地叫醒了他的房客，并且请他们换一换房间：1号房间的房客搬到2号房间，2号房间的房客搬到3号房间，以此类推，直到每一位房客都搬到了下一个房间。令这位迟来者感到十分吃惊的是，1号房间竟然被腾了出来。他很高兴地搬了进去，安顿下来过夜。但是，一个百思不得其解的问题使他无法入睡：为什么仅仅通过让房客从一个房间搬到另一个房间，第一个房间就能腾出来呢？(要知道，他来时所有的房间都住人了。)然后我们这位客人找到了答案：这所旅馆一定是希尔伯特的旅馆，它是城里一个据说有无数个房间的旅馆！通过使每一位房客都从一个房间搬到下一个房间，1号房间便被腾了出来：

这个著名的轶事在某种程度上讲出了无穷大的全部故事。这个故事所涉及的引人入胜的悖论和看似不可能的情况，曾使人类困惑了两千余年。这些悖论都源自数学，而且正是这门学科为最后解决这些悖论提供了最富有成效的途径。对无穷大的澄清和去神秘化直到20世纪才全部完成的，而且即使是这种功绩也不能说是登峰造极。与各门学科一样，数学的周围也有一种因不完整而带来的令人耳目一新的氛围；一种神秘刚被破解，另一种新的神秘早已渗入其中。最终全面理解科学是一个难以捉摸的目标，然而正是这种难以捉摸才使得对任何一个科学领域的研究都那么富有刺激性，当然数学也不例外。

很多思想家都研究过无穷大。有样东西不能证明自己，而且一旦它能够证明自己，它就不会存在，这件东西是什么？它就是无穷大！［达·芬奇(Leonardo da Vinci)，意大利艺术家和工程师］——原注当我们说一个东西是无穷大的时候，这仅仅意味着我们不能感知到所指事物的终点或边界。［霍布斯(Thomas Hobbes)，英国哲学家］——原注古希腊的哲学家曾就一条线段(或者就任何数量而言)，是不是可被无限分割，或者说是不是可以最终得到一个不可分割的点(即“原子”)等问题，展开了无休止的争论。古希腊哲学家的现代追随者——物理学家们今天还在设法解决同一个问题，他们使用巨大的粒子加速器寻找“基本粒子”——那些构成整个宇宙的基石。天文学家一直在从另一个极端——无限广阔的——尺度上思索着无穷大问题。我们的宇宙真的像人们在晴朗的夜晚望向天空时看到的那样无穷无尽，还是它有一个边界（在这个边界之外什么都不存在）？有限宇宙的可能性似乎是对我们常识的一种挑战。我们可以朝任何方向一直走下去而永远也到不了“边”，这个事实不是很清楚吗？但是我们将不难看出，当研究无穷大时，“常识”是一个非常差劲的向导！

艺术家也在与无穷大打交道，他们在画布上以线条描绘出了无穷大，这些画布和线条成了宝贵的艺术财富。“我在画无穷大，”梵高(Van Gogh)在凝视着他眼前那一望无际的法兰西平原时大声喊道。帕斯卡(Blaise Pascal)以他所特有的忧郁的世界观哀叹道：“那些无限空间里的无尽寂静使我感到恐惧。”而另一个文人布鲁诺(Giordano Bruno)在想到无限的宇宙时感到欢欣鼓舞，“打开一扇我们可以观察无尽苍穹的门”是他的座右铭，他因此被宗教法庭逮捕，并且被判处死刑。

但是，不管我们用什么方法考察无穷大，我们最终都被带回到数学领域，因为正是在这里才有无穷大概念最深的根基。一种观点认为数学就是关于无穷大的科学。在一本由日本数学学会编写的《数学百科全书》中麻省理工学院出版社于1980年出版了英文版。——原注，“infinity”“infinite”和“infinitesimal”这些词在索引中出现不下五十次。事实上，如果没有无穷大的概念，我们将很难看出数学将如何存在。因为一个孩子最先学到的数学——如何数数——就是以每一个整数都有一个后继者这一不言而喻的假设为基础的。在几何学中最基础的直线概念，也是基于一个类似的假设：我们能够在两个方向上无限地延长一条直线——至少在原则上如此。甚至在像概率这样看起来“有限的”数学分支中，无穷大的概念也起着微妙的作用：当我们掷十次硬币时，可能会得到五次“正面”和五次“反面”，或者会得到六次“正面”和四次“反面”，或者任何可能的结果；但是当我们说得到“正面”或“反面”的概率相等图1承蒙美国数学学会提供。

时，我们心照不宣地假定：当掷币的次数无穷多时，就会产生相等的结果。无穷大只是一种比喻，意思是指这样一个极限：当允许某些比率无限地增加时，另一些特定比率可以相应地无限逼近这个极限，要多近有多近。［高斯(Carl Friedrich Gauss)，德国数学家］——原注

我第一次遇到无穷大时还是个小男孩。别人给了我一本书。这本书就是《哈加达》(Haggadah)，讲的是出埃及记的故事。书的封面上是一幅画，画中的小男孩手里拿着一本与该书相同的书。仔细看时，可以看到小男孩手里那本小书的封面上还是相同的画。可能这幅画又出现在画中的画里面——我记不太清楚了。但是我确实记得，当时我头脑中浮现出一种令人吃惊的想法：如果有可能继续这一过程，那么它将永远继续下去！这种可能性十分有趣；当时我还不知道，一个那时还不太出名的荷兰画家埃舍尔(Maurits C.Escher)无限集是一个可以与它自己的一个真子集一一对应的集。［康托尔(George Cantor)，德国数学家］——原注已对这种想法很着迷，并且在他的绘画作品中将其表达了出来，使用绘画工具将这个过程呈现到了极致。

后来我又一次遇到了无穷大，这次与上次完全不一样。一天晚上，在沿着华盛顿特区的康涅狄格大街散步时，我忽然发现自己站在一尊巨大的抽象派雕塑之前，它正好竖立在人行道上。标牌上写着：《无穷大的极限Ⅲ》。无穷大使可能的东西变成必然的东西。［卡曾斯(Norman Cousins)，《星期六评论》(Saturday Review)，1978年4月15日］——原注它由一个大的椭圆形青铜环和一个用铰链安装在青铜环极值点上的螺旋桨形状的物体组成。这个细长的物体看起来能在它的枢纽上自由转动，所以我轻轻地碰了它一下，本希望它能够开始转动。然而，暗藏的报警器响了，而且其声音如此刺耳，以至于我当时十分害怕。在最初的震惊过后，我可以听见我的内心有一个声音在说：“汝不可触摸无穷大！”艺术家塞弗(John Safer)非常友好。他送给我一本讲述他作品的非常精美的书，有关《无穷大的极限Ⅲ》。他说：“作品中心‘8’字形青铜件安装在青铜外环之内，像飘浮在空中一样。这个形状提醒我们，它就是无穷大的象征。”在谈到支撑这件作品的大基座时，他说：“那个花岗岩构件不仅仅是一个合适的支撑，而且是该雕塑的一个重要组成部分，它把坚硬的、有限的大地带入整体关系的均衡之中。这个石头构件是我们思考无穷大的基础。”——原注

 在接下来的章节中，我将尝试与读者分享无穷大给各个时代的人们所带来的兴奋和敬畏。本书的书名《无穷之旅》，其原意是“走向无穷大及之外”，取自一本望远镜说明书，它列出了这台仪器的很多性能，包括如下内容：“您的望远镜的焦距范围从十五英尺1英尺相当于0.3048——原注到无穷大甚至更远。”正如本书的副标题“关于无穷大的文化史”所表明的那样，我的目的是讲述无穷大在各个时期的故事，但是不一定严格按照时间顺序。在很大程度上，我讲的故事是一个学科的故事，是从一个数学家的角度讲述的。这就图2《无穷大的极限Ⅲ》，塞弗创作(华盛顿特区)，承蒙塞弗提供。

意味着我必须面对每一个科学家在为受过教育的外行写书时所面临的同一种困境：如何在兼顾同行希望他应坚持的严谨标准的同时，用外行能够理解的语言表达作者的意思。这种困境在数学中尤其严重，因为数学几乎完全依赖于符号和方程这些非文字语言。我希望我已妥善地解决了这个问题。

因为本书是为普通读者写的，我尽力回避在正文中使用“高等”数学。当然，熟悉一些初等代数知识不会有任何害处。一些具体的数学问题被放在附录中，以保持一般讨论的连续性。各章节大多只是很松散地联系在一起，所以跳过其中的几个章节不会影响阅读。最后，那些仅仅喜欢随意浏览本书的读者仍然能够欣赏很多插画和照片，还有关于无穷大的大量引语、诗句等。

我的很多朋友在我撰写本书时提供了帮助，我十分感谢他们。在此，我要特别感谢这些朋友：感谢我的同事霍普(Wilbur Hoppe)和兰格(Robert Langer)，他们审读了大部分书稿，并且提出很多建议；感谢特雷内(Blagoy Trenev)，我不断地就一些语言和文体方面的问题打扰他；感谢巴卡拉克(Hilde Bacharach)和博拉西(Raffaella Borasi)，他们为我提供了两首描述无穷大的诗；感谢奥伦多尔夫(Ruth Ollendorff)，她向我提供了许多她已故丈夫奥伦多尔夫(Franz Ollendorff)教授未发表的手稿，本书就是献给他的；感谢贝瑟(Mary Besser)，她编辑了大部分书稿，并且在最后定稿时提供了极大帮助；感谢梅茨克(Lynn Metzker)，他绘制了大部分的线条图；感谢威斯康星大学欧克莱尔分校和密歇根州罗切斯特的奥克兰大学，它们慷慨提供了两笔资助，给我的工作提供了极大帮助；还要感谢Birkhuser Boston出版公司的编辑和出版人员，他们为本书得以出版发行付出了很多艰辛劳动。最重要的是，我应感谢我的母亲梅茨格(Luise Metzger)，是她多年来丰富了我的知识；我还感谢我的妻子达利娅(Dalia),是她鼓励我写这本书。我在很多个夜晚留下她一人在家而去办公室写这本书，她给予了很大的耐心。要没有这些人的支持，这项工作可能永远也不会完成。

最后说一句。数学家在每次讨论开始时都必须定义他的符号和概念。所以文中的“he”指的是“他或她”;“him”指“(宾格的)他或她”,等等。如果我在本书中使用了更传统的语言，只是为了简洁。

密歇根州罗切斯特

1986年7月13日