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本书缘起于一篇我（有点半开玩笑地）称之为“数学接受不可能”的文章。1984年，我为莫纳什大学的《函数》（Function）杂志撰写了这篇文章，主要目的是要表明左边所显示的这幅“不可能”图形（彭罗斯三杆）实际上并非不可能。这个三角形存在于一个完全合理的空间之中，这个空间不同于我们认为自己居住在其中的空间，然而却是有意义的，并为数学家所知。我希望通过这个例子向大众展示，数学是一门需要想象力，甚至可能需要幻想的学科。
有许多表面看来不可能的例子，它们对于数学而言很重要，而数学家也对这种现象感到震撼。例如，戴维斯（Philip Davis）在1965年出版的《矩阵的数学》（The Mathematics of Matrices）一书中写道：
数学被誉为一门容不下任何矛盾的学科，而事实上它却有着与矛盾和睦相处的悠久历史，这看上去有些荒谬。在2500年的时间里，从人们对数的概念所做的扩展中，尤其能看出这一点……从某一合适的立场来看，每一次扩展都是克服了一系列相互矛盾的需求。
数学语言中散落着一些贬义的和神秘的词语——例如无理的、虚的、不尽根的、超越的——这些词语曾用来嘲弄那些据说不可能的对象，而且这些还只不过是用于数的词语。几何中也有许多概念在大多数人看来是不可能的，例如第四维、有限宇宙和弯曲空间——然而它们对于几何学家（及物理学家）而言却是不可或缺的。因此，数学无疑并没有把不可能当成一回事，而且似乎通过这样做来取得进展。
问题是： 这是为什么？
我认为俄罗斯数学家科尔莫戈罗夫（A. N. Kolmogorov）在1943年对其中的原因作出了最佳的表述：
在任何给定的时刻，“平凡的”和不可能之间只隔着薄薄的一层。数学发现就是在这一层中作出的。
换言之： 数学就是一个与不可能发生近距离冲突的故事，因为数学中的一切伟大发现都接近于不可能。本书的目的就是，通过呈现在整个数学范围内的一些有代表性的冲突，简略地而且几乎不需要任何预备知识地讲述这个故事。通过这种方式，我还希望能捕捉到某种变化不定的观念的感觉，而在将发现书写成文的过程中，常常会丢失这种感觉。教科书和研究论文中略去了这些与不可能的冲突，在引入新概念时只字不提它们，不用它们来澄清混淆之处。这样处理当然能做到长话短说，但我们必须去体验其中的一些困惑，才能理解为什么需要这些新的、奇怪的构想。
知道为什么需要新构想会有所帮助，但是通往数学之路仍然没有捷径可走。具有良好高中数学知识背景的读者应该能够知道本书中的全部概念，并能理解大部分概念。不过，有许多概念很难，而且也没有任何方法来降低难度。你可能不得不将某些段落反复阅读好几遍，或者重新阅读书中先前的一些部分。如果你觉得这些构想很吸引人，那么你可以阅读推荐的参考文献以继续深入研究。（这也适用于数学家，他们之中的有些人可能为了了解他们专业以外的领域而阅读本书。）
作为一个特殊的后续阅读材料，我推荐我的《数学及其历史》（Mathematics and Its History）此书中译本由高等教育出版社出版，袁向东、冯绪宁译，2011年。——译注一书。那本书更加详细地展开了本书中所描述的这些构想，并用练习来加以巩固。它还提供了一条通往数学经典著作的途径，从中你可以亲身体验到“渴望不可能”。
有好几个人帮助我撰写并修改本书。我的妻子伊莱恩（Elaine）一如既往地走在最前面。她阅读了好几版初稿，并进行了第一轮的批评和修改。冈纳森（Laurens Gunnarsen）、爱尔兰（David Ireland）、麦科伊（James McCoy）和谢尼策（Abe Shenitzer）也仔细地阅读了本书，他们提出了至关重要的建议，这帮助我厘清了整体视角。
第1章 无理数 / 1
1.1 毕达哥拉斯之梦 / 3
1.2 毕达哥拉斯定理 / 7
1.3 无理三角形 / 10
1.4 毕达哥拉斯之噩梦 / 14
1.5 解释无理数 / 17
1.6 2的连分数表示 / 22
1.7 平均律 / 28
第2章 虚数 / 32
2.1 负数 / 34
2.2 虚数 / 38
2.3 求解三次方程 / 41
2.4 通过虚数得到实数解 / 44
2.5 1572年之前虚数在哪里 / 46
2.6 乘法的几何学 / 50
2.7 复数提供的超过了我们所要求的 / 55
2.8 为什么将它们称为“复数” / 60
第3章 地平线 / 63
3.1 平行线 / 66
3.2 坐标 / 69
3.3 平行线与视觉 / 74
3.4 不用度量的画法 / 79
3.5 帕普斯定理和德萨格定理 / 83
3.6 德萨格小定理 / 88
3.7 代数定律有哪些 / 92
3.8 射影加法与乘法 / 96
第4章 无穷小 / 101
4.1 长度和面积 / 103
4.2 体积 / 106
4.3 四面体的体积 / 108
4.4 圆 / 112
4.5 抛物线 / 116
4.6 其他曲线的斜率 / 119
4.7 斜率和面积 / 123
4.8 π的数值 / 127
4.9 那些死去的量的鬼魂 / 130
第5章 弯曲空间 / 134
5.1 平面空间与中世纪空间 / 136
5.2 二维球面与三维球面 / 140
5.3 平坦曲面与平行公理 / 145
5.4 球面与平行公理 / 148
5.5 非欧几何 / 152
5.6 负曲率 / 155
5.7 双曲平面 / 158
5.8 双曲空间 / 162
5.9 数学空间与真实空间 / 164
第6章 第四维 / 168
6.1 数对的算术 / 170
6.2 搜寻适合三元数组的算术 / 172
6.3 为什么n≥3时的n元数组不像数 / 174
6.4 四元数 / 178
6.5 四平方数定理 / 182
6.6 四元数和空间旋转 / 185
6.7 三维中的对称 / 188
6.8 四面体对称与正二十四胞体 / 191
6.9 正则多胞形 / 196
第7章 理想 / 200
7.1 发现与发明 / 202
7.2 带有余数的除法 / 205
7.3 唯一素因子分解 / 209
7.4 高斯整数 / 212
7.5 高斯素数 / 215
7.6 有理斜率与有理角度 / 218
7.7 唯一素因子分解失效 / 220
7.8 理想，重获唯一素因子分解 / 224
第8章 周期空间 / 229
8.1 不可能的三杆 / 231
8.2 柱面与平面 / 234
8.3 狂野事物的所在地 / 237
8.4 周期世界 / 240
8.5 周期性与拓扑学 / 242
8.6 周期性简史 / 246
第9章 无穷 / 252
9.1 有限和无穷 / 254
9.2 潜在的无穷与真实的无穷 / 256
9.3 不可数的 / 259
9.4 对角线论证 / 262
9.5 超越数 / 265
9.6 渴望完整 / 269
结语 / 272
参考文献 / 276
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