前言

“不可能”这个词有着诸多含义。在日常用语中，它的意思通常是“极难做到”或“目前还无能为力”。而在数学中，它则表示“经证明无法实现”。本书讨论的正是这种以严格意义上的“不可能”为结论的数学定理发展史。和诸多数学家以及普通读者一样，我长年醉心于不可能定理。我在丹麦欧登塞大学最早开设的几门课中，就有一门讲述三大古典作图问题的历史，即化圆为方、倍立方体、三等分角。后来，我将讲稿整理成书[Lützen 1985]，用作丹麦高中教材。我在准备讲稿和书稿的过程中发现了这样一个现象：许多谈及这些古典作图问题历史的二手资料，对不可能问题几乎都语焉不详。许多学术著作和通俗读物都讲述了解决这些问题的各种尝试，尤其是古希腊时期的各种作图方法，但一旦论及尺规作图的不可能性，这些书籍和论文（包括我本人当时写的那本）大多只会一笔带过古希腊人的情况，然后便直接跳到19世纪对不可能性证明的论述。因此，当我在一篇论文[Lützen 2008]中回头再看这些不可能问题时，便决定从古典作图问题的不可能性入手。这项研究最终写成了四篇论文[Lützen 2009,2010,2013,2014]，我尝试用它们补全这些作图问题在不可能性研究史上的空白。写完这些专题研究后，我又决定撰写一本更为全面的著作，讨论数学不可能定理的整体历史。当时，我已经注意到了克里帕（Davide Crippa）的出色研究[Crippa 2019]，也注意到有越来越多的学者对科学领域中的不可能问题产生了兴趣，比如巴罗（John D. Barrow）[Barrow 1998]和桑托伊（Marcus du Sautoy）[du Sautoy 2016]等人的著作就对此有所论及。

本书撰写过程中，又有两本相关读物问世，出自史迪威（Stillwell）[Stillwell 2018]和里奇森（Richeson）[Richeson 2019]。我将书稿交给牛津大学出版社后，才经审稿人提醒而得知了这两本书。所幸,我对数学不可能问题的处理视角与他们大不相同。史迪威的《渴望不可能:数学的惊人真相》(Yearning for the Impossible: The Surprising Truths of Mathematics)是一部极具吸引力的通俗读物,探讨了诸如第四维度、无理数和虚数等奇妙的数学课题;我的关注点则以不可能定理本身为主。里奇森的《不可能的几何挑战》(Tales of Impossibility)细致讲述了三大古典作图问题以及正多边形作图问题,我的书则涵盖了其他的不可能问题。此外,巴罗和里奇森的书主要是科普数学,历史只是科普的手段;本书则重在问题自身的历史演变——本书是一部数学史著作。

本书既可以作为入门读物,以供对这个主题感兴趣的读者阅读,也可以作为数学史课程的教材。近年来,维尼茨基- 兰德曼(Winicki- Landman)[Winicki- Landman 2007]和我[Lützen 2013]都曾强调不可能问题在数学课堂中的教学价值,本书或许可以为课堂讨论提供启发。

我的目标是撰写一本以扎实的史料研究作为基础的半通俗著作,让具备高中数学水平、对数学感兴趣的读者都能读懂。正文和推荐阅读列表列出了许多二手文献,可供读者进一步了解书中所涉数学问题的历史;同时我也列出了很多重要的一手资料,还专门直接引用了一些原始文本。不过,我没有列出所有查阅过的一二手资料,否则参考文献会变得冗长至极。读者通过本书参考文献中列出的论文和著作的引文目录,就可以轻松回溯原始文献。我引用的大多是英译本(没有英译本的除外)。

本书撰写期间,我得到了许多同事的支持和鼓励。我要特别感谢克里帕——我有幸参与评审他的博士论文,并与他有过深入讨论。借着那次机会,我也与潘扎(Marco Panza)愉快地交流了对于不可能问题的看法。我在撰写有关阿罗不可能定理的论文时,曾联系萨特思韦特(Mark A. Satterthwaite),他在邮件中说明了自己如何开始研究吉伯德- 萨特思韦特定理。非常感谢他分享这段宝贵经历。

诸多审稿人为本书初稿提供了极有帮助的反馈,他们指出错误,并提出了改进建议。以下几份愿意公开姓名:格雷(Jeremy Gray)、舒尔策(Reinhard Siegmund- Schultze)、罗(David Rowe)、费雷罗斯(Jose Ferreiros)、威尔逊(Robin Wilson)。感谢他们和所有不具名的审稿人。此外,我还要感谢霍根戴克(Jan Hogendijk),他帮助我查找了有关中世纪阿拉伯世界陈述不可能问题的资料。

插图是一本书的重要组成部分。我在寻找合适图像的过程中，得到了来自世界各地的帮助。首先，霍耶（Jim Hoyer）为哥本哈根大学数学科学系档案中收藏的若干肖像拍摄了精美照片，并加以修整；斯坦福新闻图书馆的莫兰（Pamela Moreland）提供了阿罗（Kenneth Arrow）的照片；法兰西学会图书馆的布埃（Cécile Bouet）允许我使用刘维尔（Joseph Liouville）的照片；普林斯顿高等研究院的里佐（Caitlin Rizzo）提供了冯·诺依曼（John von Neumann）和哥德尔（Kurt Gödel）的照片；德国上沃尔法赫数学研究所的欣内堡（Jennifer Hinneburg）提供了康托尔（Georg Cantor）、贝尔特拉米（Eugenio Beltrami）、林德曼（Ferdinand Lindemann）和高斯（Carl Friedrich Gauss）的照片。我对他们的帮助深表感谢。

最后，我要感谢牛津大学出版社，他们以专业而友善的态度，将我的手稿转变为了精美的出版物。我尤其要感谢泰伯（Dan Taber）、斯莫尔曼（John Smallman）、米勒（Hayley Miller）、西瓦（Hariharan Siva）和拉穆（Karthiga Ramu），与他们的合作令人十分愉快。

杰斯珀·吕岑 哥本哈根 2022年4月22日