序言

三一的可畏后生，

想对无穷开平方，

这令他徒增烦恼，

为数出这些数字，

他只好弃数从神。

—无名氏

这首由无名氏写下的古老的五行打油诗，囊括了数学的两个基本特征以及至少一个误解。正如诗中正确地描述的那样，数学确实提供了一些令人头昏的概念（如无穷），而数学概念也确实让门外汉比较难以理解。不过这首打油诗错误地传达了这样的信息：数学的本质在于数数。银行柜员、出纳员和注册会计师所做的是数数。但正如收入本书的《纽约时报》（The New York Times）文章所表明的，数学家所做的远远不只是算术。他们在追寻普遍永恒的真理，这是三一学院崭露头角的神学家所能理解的一个追求。

大约在公元前300年前后，亚历山大城的欧几里得(Euclid)对存在无穷多个素数(如3,5,7,11,13那样的仅能够被它自身和1整除的整数)提供了一个简单的证明。他的证明在今天一如2300年以前那样正确，而且在以后的2300年也同样正确。这种确定性使得数学在所有科学中独一无二。不论我们在数轴上跑多远（在一万、一亿、一万亿以外），总存在素数。而物理学的“真理”则不是普遍的。牛顿（Isaac Newton）和爱因斯坦(Albert Einstein)的发现看起来仅仅对某些特定的尺度成立，而对超出其外的距离则不成立。

比起其他科学，数学提供了更丰富的超出人类当前智慧的简单问题。例如，在数论中，就有一个所谓的孪生素数猜想，它断言存在无穷多对孪生素数（即相差为2的一对素数，如3和5，17和19，3581和3583）。虽然欧几里得早就证明了素数有无穷多个，但直到现在，数学家都无法证明存在无穷多对孪生素数。欧几里得的证明是如此简单，以至于它可以写在一张明信片上。这就引出了一个深刻的元数学问题：相对于其他一些容易让人放弃求解答案的相关问题，为什么一些看起来简单的数学问题如此困难？

当代数学仍然在追求普遍永恒的真理，不过现在数学家有了更广泛强大的技术以追寻这些真理。在这些技术中，最主要的一个是计算机，它本身是数学的产物，是0和1的二进制语言。20世纪70年代中期，我在上大学，当时我在哈佛的教授收到消息说，中西部的两位数学家证明了著名的四色猜想难题，即任何一张世界地图都可以用四种颜色着色，且使得相邻的国家有不同颜色。哈佛数学系举办了许多庆祝活动，不过当人们听说计算机承担了其中大量的工作时，庆祝的喜悦就开始让位于惶恐和不安了。并非教授们不相信这个证明，他们认为其正确性可以通过其他计算机运行证明步骤而得到验证。他们烦恼的是，这个证明是如此之长，以至于没有人能够真正吸收它并理解为什么四种颜色就够了。对他们而言，一个证明必须要提供洞察，而在这方面，欧几里得的半页纸证明就是黄金标准：他们可以很容易理解它，并明白为什么素数有无穷多个。

你将从《纽约时报》的这些文章中了解到计算机帮忙解决的四色猜想以及其他让人着迷的数学难题（例如，聚会举办者为了确保至少有8个人都认识一个人并且至少有三个陌生人时，需要邀请的最少人数），还有计算机辅助证明所产生的哲学问题。你还将发现那些不依赖于计算机的、用传统方式解决的著名问题（如费马大定理和庞加莱猜想）的故事。

在这本书中，你将遇到的数学家包括古怪的格里戈里·佩雷尔曼(Grigori Perelman)，他解决了长达一个世纪的庞加莱猜想，之后又隐居到俄国的森林中，并拒绝了100万美元的奖金和菲尔兹奖章——堪称数学中的诺贝尔奖。此外，还有保罗·埃尔德什(Paul Erdos)，他可以说是世界上最多产的数学家，同时也是一个四处漂泊、居无定所的匈牙利数学家，靠着安非他明与意大利浓缩咖啡，每天工作20小时，发表了1500多篇论文。埃尔德什曾经说：“数学家是将咖啡转化为定理的机器。”当同事请他歇一歇时，他回答说：“坟墓里有的是时间休息。”埃尔德什83岁逝世，不过他的数学，就像所有的数学一样，是永恒的。他的发现，正如欧几里得和佩雷尔曼的发现一样，将永垂不朽。

保罗·霍夫曼(Paul Hoffman)自由科学中心执行总裁，《数字情种》作者

引言

一名数学家曾经驳斥了下述观点：圈外的人可以理解这一领域的真正本质。像音乐和绘画一样，数学是一种艺术。他说，将数学翻译成英文，比翻译中国诗歌更加困难。数学的优美会丧失，而其具有妙不可言的光彩的证明将变成令人困惑或听起来平淡无奇的流水账。

这个观点得到了其他人的共鸣。纽约大学的数学家弗里茨·约翰(Fritz John)说，他既不要名也不要利，只需要“极少数密友的服气与尊敬”。

然而，即便其余的芸芸众生不能将数学当做艺术来欣赏，我们就真的要被排斥在外吗？《纽约时报》上的文章可能不会给出证明的细节，但它们揭示了一个丰富的世界，令人激动、惊讶，甚至扣人心弦。它们甚至提出了古老的问题：数学是什么？它是发现还是发明？是艺术还是科学？若是艺术，那么正如乔治·约翰逊(George Johnson)在本书的开篇文章中所写的，为什么宇宙看起来遵循数学法则呢？

如果我们不考虑哲学方面，数学问题的多样性及其范围也是令人眩晕的，正如《纽约时报》中所报导的那样。有些文章对日常生活中的问题给出了数学解释——为什么重的东西会跑到容器的顶部？果酱中的草莓往往在罐子的上面，因此当你的手碰到底部时，你碰到的是稠糖浆。巴西坚果会在混合坚果罐的顶部。数学发现会告诉你这是为什么。

一名妇女在4个月内连中两次新泽西乐透彩，这是怎么回事呢？这个概率通常被报导为17万亿分之一。然而，事实上，统计学家计算表明，它更可能是1/30。《纽约时报》的一篇文章解释了如何推理这类问题。

关节疼痛是否真的是天气改变的反应呢？统计学家用一个有道理但与直觉相悖的分析回答了这个问题。另一篇文章告诉我们控制交通堵塞的一个惊人结果——数学家可以证明，有时封锁道路实际上可以改善交通。

虽然这些文章可以让我们以不同的方式看待世界，但它们并非是震撼数学的结果。如果你问一个数学家，哪个证明对他而言是最重要的，他也许会提及在寻求许多最著名问题的解答过程中的一些传奇故事。费马大定理的故事可能会在许多人的清单中位居榜首。将近400年前，一位法国数学家在一本书的空白边缘处记下这个问题，他说他有一个绝妙的证明，但空白太小，无法记下。自此以后，数学家就致力于证明它，但从未有人成功。一些著名的数学家说他们绝不会触碰它——这是一项愚蠢的冒险，他们很可能耗费生命中的宝贵时间而终究一无所获。

然而，在1993年，一位年轻的数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)，宣称他解决了费马大定理。接着，是欢欣鼓舞，是紧张的质疑。这是一个复杂的证明，依赖于最近才发展起来的刚刚被理解了的数学。当数学家仔细检验怀尔斯的工作时，他们发现了其证明中的一个漏洞，怀尔斯力挽狂澜地想要补救。他重新回到家里的小阁楼上的办公室——他曾在此秘密工作——尽力将证明补充完整。这件事直到一年后才完美收场，正如《纽约时报》所讲述的，这是一个过山车式的传奇，是一个关于骄傲、抱负、天分和决心的难忘故事。

并非所有的数学都是逻辑式的，研究者也好奇如何描述不可预测的东西，比如蝴蝶效应，这是数学家爱德华·洛伦茨(Edward Lorenz)在1972年的一篇标题为“一只蝴蝶在巴西的翩翩起舞能够引发得克萨斯州的龙卷风吗？”的演讲中所描述的。当数学家试图理解这类现象时，他们发展了新领域或者说新命名的领域：混沌理论和突变理论。伴随这些领域而来的，是种种争论。这些结果是否夸大其词了？这些事件在多大程度上是可预测的？对于全球变暖等一些同样涉及不确定性的重要问题，这些研究能说明些什么？

另一些文章则谈到了那些改变了我们的生活和工作方式的发现。在20世纪80年代，一些数学家有了一个聪明的想法，可以造出牢不可破的密码。对于一些问题，如果你知道答案，很容易验证，否则，除非你有大把的时间运行计算机，不然你几乎不可能知道答案。一个这样的问题是因数分解——将一个特定的数分解为素数的乘积。做乘法很容易，比如3乘以5乘以11乘以13，得到2145，但反过来因数分解2145就要困难得多（假定你事先不知道这个2145是怎么乘出来的）。然而，这些密码利用了大量的数，从而不像2145这么简单。因为数字很大，分解起来就不容易了。设想你制造了这样一个密码，破解它需要对一个大数做因数分解。你可以通过一组素数相乘传递出信息。而其他人如果不能分解出这个大数，就无法破译消息。

这个思想是如此富有威力，以至于联邦政府警告数学家不要发表其全部工作，这导致了关于可以透露多少的举国争论。有些人说将密码公开对于利用密码来保护如银行卡账户密码等私密信息是重要的，另一些人则认为将编码方法保密是重要的，这样敌人就不能利用，而且不能制造出政府无法破译的密码。最后，这个方法成为今天网络世界的一个整体部分，比如它允许我们通过安全的网络购物。《纽约时报》的文章为我们讲述了这些故事。

虽然今天的许多科学领域需要比较大的研究团队，但数学家通常独自工作。一个聪明的人可以改变一个领域。许多数学家都有难以忘怀的故事和洞察。《纽约时报》文章包含了斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）的传奇故事，他于19世纪出生在印度的一个小城镇，32岁去世，留下“一份奇妙的原创遗产，大概有4000多个公式，记在三本笔记本和一些小纸片上”。他的非凡故事——他是如何被发现，以及他是何等别出心裁——是独一无二的传奇。一位数学家说：“他的思维方式看起来与我们知道的任何别的人都不同，他对事物有一种感觉，它们就像从他的脑中涌出一样。也许他能够以一种不可描述的方式看到它们，就像在某个你未曾出现的宴会上看到了某些人。”当代数学家可以告诉我们，成为他们宴会一分子的感觉是怎样的。新型密码的发明者之一伦纳德·阿德尔曼(Leonard Adleman)在研究生期间就发现数学“与计数的联系还不及与哲学的联系多”。他说，虽然许多人“认为数学是一门实用的技艺，但成为数学家的关键在于你在某个时刻从中看出了数学的美妙与力量”。

不足为奇，有些数学家只是古怪的人，他们有天赋，但几乎是难以置信地古怪。至少，保罗·埃尔德什是这样的，他是一个匈牙利数学家，居无定所，也没有稳定的工作。其他数学家把他邀请到家里，为他提供食宿——并与他合作——直到他搬到另一个数学家的家里。他也谈论了本书开篇的问题：数学真理是发现还是发明。他认为是发现。正如我在对这个难以忘怀的人的一篇纪念文章中所写的，埃尔德什“说上帝手里有一部天书，里头收藏有每一个数学问题的优美证明。他时常开玩笑说，哪怕只瞥一眼这本书，他也会发现点什么”。

吉娜·科拉塔（Gina Kolata）