致谢

我们衷心感谢纽约市立大学（City University of New York，缩写为CUNY）城市学院（City College）数学荣誉教授恩伯（Michael Engber）博士，他校阅了本书并提出了一些有用的建议。我们还要感谢奥地利维也纳理工大学（Vienna University of Technology）数学教授克朗费勒（Manfred Kronfeller）博士、奥地利格拉茨的卡尔弗朗茨大学（Karl Franzens University）数学教授伯恩德·塔勒尔（Bernd Thaller）博士以及奥地利格拉茨卡尔弗朗茨大学数学教授西格丽德·塔勒尔（Sigrid Thaller）博士。我们非常感谢柏林洪堡大学（Humboldt University）的赫尔维希（Heino Hellwig）撰写了涉及生物学的第6章，以及除此之外提供的建议。我们感谢中央密歇根大学（Central Michigan University）数学教授迪亚斯（Ana Lucia Braz Dias）博士撰写了关于分形的第7章。感谢普尔（Peter Poole），他对全书提出了一些充满智慧的建议。我们要感谢里根（Linda Greenspan Regan）在编辑方面的协助，感谢迪默（Peggy Deemer）在技术编辑方面的非凡专业能力，感谢巴拉德（Jade Zora Ballard）为本书最终定稿。

序言

几乎没有什么数学概念（如果有的话）能像黄金分割那样对我们视觉和智力生活产生多方面的影响。黄金分割的最简单形式是指将一条给定的线段分割成一个独特的比例，从而使我们得到审美上的愉悦。构成这个比例的方式如下：分割后较长的线段（l）与较短的线段（s）之比，等于原来的整条线段（l+s）与分割后较长的那段线段之比。这可以写成符号形式ls=l+sl。

让我们考虑一个长为l、宽为s、长宽比为黄金分割的矩形。我们称之为黄金矩形。这个名字来源于其形状上显而易见的美，而这一观点得到了来自各种文化的心理学研究的支持。黄金矩形这一形状除了可以在许多著名的古典艺术作品中，也可以在众多的建筑杰作中找到。

当从数值的角度来看待黄金分割时，它似乎渗透到了数学的方方面面。我们选择了黄金分割的各种表现形式，使读者能够领会到数学之美和数学的力量。在某些情况下，我们的努力将为读者打开新的视野；而在另一些情况下，对于一些也许没有从这个不同寻常的特殊视角考虑过的数学领域，我们的努力将丰富读者对这些领域的理解和欣赏。例如，黄金分割比（通常由希腊字母表示）这个值的独特之处在于它与它的倒数相差1，即-1=1。这一不寻常的特性催生出大量令人着迷的属性，并与斐波那契数和毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理，即我们所说的勾股定理。在西方，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。而在中国，相传于商代就由商高发现。——译注这样一些熟悉的主题真正地交织在一起。

在几何学领域中，黄金分割的应用几乎比比皆是，而这些应用的美也是无限的。为了充分欣赏它们带来的各种视觉美，我们将带你经历一段几何体验之旅，其中包括一些相当不寻常的构建黄金分割的方法，此外还要去探索许多有黄金分割嵌入其中的、令人惊讶的几何图形。然而，所有这些只要求读者还记得一些高中的几何基础知识。

现在就请加入我们，让我们一起踏上这趟奇妙的旅程，领略黄金分割的众多精彩表现，从公元前2560年开始一直到现在的种种见闻。我们希望在这趟数学之旅中，你会逐渐理解德国著名数学家和科学家开普勒开普勒（Johannes Kepler，1571—1630），德国天文学家、数学家，他发现了描述行星运动的三条开普勒定律。——译注的名言，他说：“几何学中有两大宝藏：其一是毕达哥拉斯定理，其二是黄金分割。我们可以把前者比作大量黄金，后者堪比一颗无价的宝石。”J. Kepler, Gesammelte Werke, vol.1, Mysterium cosmographicum. De stella nova, ed. Max Caspar （Munich: C. H. Beck, 1938）. ——原注这颗“无价的宝石”会令我们充实，给我们带来乐趣，会使我们着迷，也许还会为我们打开一扇通往有着意想不到的前景的新大门。