序　　言

在我撰写本书的时候,我想象这是一位“老师”与一位“学生”的对话——老师人到中年,不仅精通数学,而且十分敬业,就像艺术家对他的艺术一样,对自己的工作充满热情;学生即将成年,他表达清晰,勇于探索,渴望更博学的老师所给予的任何知识。当您预备阅读本书时,也请您作这样的理解。

他们的对话——我没有描写确切的场景——是老师创设的,目的之一是让学生体会数的概念远比最初能想见的微妙得多。他们的数学之旅始于老师用一系列问答引导学生,通过一个漂亮而又简单的几何范例(据信产生于古代印度),建立了一个确定的数的存在性,而关于这个数的性质的知识就必然是随后问答二重奏的基本内容。<C:\Program Files (x86)\Founder\FounderFX6\PlugIns\v12PluginBDTranslator\WordImage\0328-2的平方根-6821\NoImage.jpeg>

老师的高明之处在于他希望学生领略一点数学的奥秘,更在于他能引导学生一步一步逐渐熟悉数学推理,在自己“发现事物”的过程中体验纯粹的快乐。正开始探索的年轻的学习者很快感受到发现的喜悦,经过一番探索与努力,他遇见一个数列,他猜想这个数列与老师所展示出来的神奇的数有密切的联系,这对他来说是弥足珍贵的奖励。为这个幸运的发现所诱惑,强烈的好奇心驱使他迫不及待地投入工作,去更多地了解这个数,了解这个数与已令他着迷的数列间的联系。这本共有五章的书便由此开始。

我尽力使前四章具有独立性。当日常语言能达到同样目的时我避免使用数学记号,虽然语言叙述略显冗长。数学记号的运用不超出最简单的高中代数的范围,但表达方式明显反映对这个数学分支的需要。所使用的代数方法是简单的,但经常是巧妙的,显示运用少量工具和技巧能够做那么多事。倘若读者能因此而欣赏代数——在一般意义下证明的功能——本书的写作就不枉然。

遗憾的是,若要保持第五章完全独立,就不得不舍弃若干精彩的材料,这实在不是我的意愿,我宁可努力将这些材料献给勤奋的读者,希望他们能充分领会这些材料的实质。

在本书中,为区别对话的双方,将采用以下的印刷方式:

老师的声音——自信、柔和而令人信服——设置为这样的黑体字,并靠近页面左侧。

　　学生的声音——恭敬,热切而又好奇——设置为这种轻快的字体,在页面上略微右移。

老师与学生间的对话,理应既严肃又活泼,我希望本书的读者能够从这篇对话中体会寓教于乐的态度和精神。

戴维·弗兰纳里

2005年9月