怎样解题——数学思维的新方法

怎样解题——数学思维的新方法
ISBN: 
978-7-5428-5231-1/N·808
出版日期: 
2011-10
开本: 
16开
页码: 
231
定价(元): 
29.00
作者: 
[美] G·波利亚
译者: 
涂泓 冯承天
  

目录

第一部分  在教室里目的
1. 帮助学生 /1
2. 问题,建议,思维活动 /1
3. 普遍性 /2
4. 常识 /2
5. 教师和学生,模仿和实践 /3
主要部分,主要问题
6. 四个阶段 /4
7. 理解题目 /5
8. 例子 /5
9. 拟订方案 /6
10. 例子 /8
11. 执行方案 /10
12. 例子 /10
13. 回顾 /11
14. 例子 /12
15. 不同的方法 /15
16. 教师提问的方法 /16
17. 好问题与坏问题 /17
进一步的例子
18. 一道作图题 /18
19. 一道证明题 /20
20. 一道速率题 /23
第二部分  怎样解题
一段对话 /27
第三部分  探索法小词典
类比 /31
辅助元素 /39
辅助题目 /43
波尔察诺 /48
出色的念头 /49
你能检验这个结果吗? /50
你能以不同的方式推导这个结果吗? /52
你能应用这个结果吗? /55
执行 /58
条件 /61
矛盾* /62
推论 /63
你能从已知数据中得出一些有用的东西吗? /64
你能重新叙述这道题目吗? /66
分解和重组 /67
定义 /75
笛卡儿 /81
决心、希望、成功 /82
诊断 /84
你用到所有的已知数据了吗? /85
你知道一道与它有关的题目吗? /87
画一张图* /88
检验你的猜想 /89
图形 /93
普遍化 /97
你以前见过它吗? /99
这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过 /100
探索法 /102
探索式论证 /103
如果你不能解所提的题目 /104
归纳与数学归纳 /105
创造者悖论 /111
条件有可能满足吗? /112
莱布尼茨 /113
引理 /114
观察未知量 /115
现代探索法 /120
符号 /124
帕普斯 /129
拘泥与变通 /134
实际题目 /135
求解题、证明题 /139
进展与成绩 /142
谜语 /145
归谬法与间接证明 /147
多余* /154
常规题目 /155
发现的规则 /156
格式的规则 /157
教学的规则 /158
将条件的不同部分分开 /159
建立方程 /160
进展的标志 /164
特殊化 /174
潜意识活动 /180
对称性 /182
新旧术语 /183
量纲检验 /185
未来的数学家 /188
聪明的解题者 /189
聪明的读者 /190
传统的数学教授 /191
变化题目 /192
未知量是什么? /196
为什么证明? /197
谚语的智慧 /202
倒着干 /205
第四部分  题目、提示、解答
题目 /212
提示 /216
解答 /220
注释 /230

内容提要

        这本经久不衰的畅销书出自一位著名数学家的手笔,虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律,但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。本书围绕“探索法”这一主题,采用明晰动人的散文笔法,阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。一代又一代的读者尝到了本书的甜头,他们在本书的指导下,学会了怎样摒弃不相干的东西,直捣问题的心脏。

前言

        以下的这些论述都是围绕前面题为“怎样解题”的这张表中的问题和建议而组织的。凡是从该表中引述的问题或建议都将以斜体印刷*,而这张表本身也将被简称为“该表”或“我们的表”。
        接下来的几页将讨论该表的意图,通过一些例子来说明它的实际应用,并解释那些作为基础的概念和思维活动。用通俗易懂的话来解释,这些也可以说成是:如果你能恰当地使用这些问题和建议,而对你自己提出它们,那么它们也许能帮助你解决你的题目。如果你能恰当地使用这些同样的问题和建议,进而向你的学生提出它们,你也许就可以帮助他解决他的题目。
        本书共分为四部分:
        第一部分的标题是“在教室里”,包括了20个小节,今后引用到其中的每个小节都会用黑体数字的形式来表示,如“第7节”。第1节到第5节以笼统的方式讨论了我们的表的“目的”。第6节到第17节解释了该表的“主要部分,主要问题”是什么,并讨论了第一个实际的例子。第18、19、20节则加入了“更多例子”。
        第二部分非常简短,标题为“怎样解题”。它以对话的形式写成,描写了一位有些理想化了的教师对一位有些理想化了的学生的一些简短问题的回答。
        第三部分也是最为宽泛的那一部分,是一部“探索法小词典”,下面我们将它称为“词典”。它包括按英文字母顺序排列的67个条目。例如,探索法(Heuristic)这个术语的含义就可以在第112页的这个标题下找到*。如果在文中提到这样的一个条目的话,就会用小号的大写字母来表示**。有几个条目下的段落比较专业化,这些段落就用方括号把它们括起来。某些条目和第一部分的联系比较紧密,并对它作了进一步的说明和更具体的评论。其他的条目则在一定程度上超出了第一部分的主旨,它们的目的是阐明背景情况。关于现代探索法(Modern Heuristic)有一个关键的条目。它解释了这些主要的条目和构成该词典基础的方案之间的联系。同时,它也包括了指导读者如何从该表中找出关于那些特定项目的信息。由于该词典中的这些条目在外在形式上变化多端,所以必须强调,存在一个通用方案和某些统一性。有些比较长的条目致力于系统而凝练地讨论某个普遍性的主题,有一些则包含了更为专门的评论,还有一些则是相互参照,或为历史数据,或为引文,或为格言,或者甚至是笑料。
        对于这部词典,读者不应该读得太快;它的文字常常是凝练的,而且不时还有点微妙。读者可以参照这部词典来查找关于那些特定点的信息。如果这些点来自他在自己的题目或在他自己的学生中得到的经验,那么这种阅读就更有可能会有所裨益。
        第四部分的标题是“题目、提示、解答”。它对更有雄心的读者提出了几道题目。每道题目(在适当的距离之后)都跟随着一个“提示”,这个提示可能会揭示出一条通往结论的道路,而这个结论则在“解答”中作了解释。
        我们已经一再地提到过“学生”和“教师”,而且我们还将会再三提到他们。我们最好能意识到,这里的“学生”可能是一个中学生,或是一个大学生,也可能是其他任何一个正在学习数学的人。同样,这里的“教师”可能是一位中学教师,或是一位大学讲师,也可能是任何一个对教授数学的技巧有兴趣的人。作者在看待情况时,有时是从学生的观点出发,有时则是从教师的观点出发(后面的这种方式在第一部分中出现较多)。然而在大多数的情况中(尤其是在第三部分中),作者是以一个既不是教师,也不是学生,而只是一个渴望解决他眼前题目的人的观点来看待问题的。

作者简介

        波利亚(George Polya,1887—1985),著名美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。1912年获布达佩斯大学博士学位。1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授,1928年后任数学系主任。1940年移居美国,历任布朗大学和斯坦福大学的教授。1976年当选美国国家科学院院士。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。长期从事数学教学,对数学思维的一般规律有深入的研究,这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等,它们被译成多种文字,广为流传。

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