陈永明讲评数学题——初中习题归类研讨

陈永明讲评数学题——初中习题归类研讨
ISBN: 
978-7-5428-5784-2/O·885
出版日期: 
2014-01
开本: 
16开
页码: 
300
定价(元): 
39.00
作者: 
陈永明
  

目录

 

一、代数  1

1.联想和“组块”:由a+b,a-b,ab等引出的  1

2.因式分解  7

3.解题模块:条件求值  13

4.别样观点:应用题教学  20

5.分式方程  26

6.无理方程  35

7.韦达定理  44

8.二元二次方程组  49

9.一次函数解析式的确定  57

10.二次函数解析式的确定  61

11.二次函数的值域和最值  67

12.数形结合:二次函数的系数与图像关系  75

13.分段函数  80

14.数学方法:待定系数法  86

 

二、几何  90

1.上游命题系统:怎样证明两直线垂直  90

2.上游命题系统:怎样证明两直线平行  98

3.线段和差倍分的证明  103

4.解题模块:解直角三角形及其推广  111

5.三角形中的中点问题  120

6.梯形常用处理方法  126

7.基本图形:“A型”和“X型”相似三角形  134

8.基本图形:“错A型”和“错X型”相似三角形  141

9.基本图形:一线三等角  146

10.分类讨论:等腰三角形  152

11.分类讨论:相似三角形  163

12.线段比的转换  173

13.分类讨论:圆  178

14.直线与圆相切问题的几种类型  184

15.面积问题  192

16.怎样把分散的线段集中  201

17.简单的几何最值问题  207

18.图形运动中的不变量  216

 

三、综合  224

1.回归本源:求点的坐标  224

2.函数背景下的等腰三角形问题  233

3.函数背景下的四边形问题  242

4.非因果关系的联想:“以形助数”问题  250

5.数学方法:特殊化  255

6.数学方法:主元法  264

7.反应块:拆项添项法和割补法  270

8.数学方法:整体思维  277

9.探索题解法研究  285

内容提要

 

        本书作者根据张景中院士的“中巧说”,即“用一个方法解出一类题目.也就是说,把数学问题分门别类,一类一类地寻求可以机械执行的方法”的思想,曾提出过“将解题经验算法化、显性化”的观点,并提出过“解题模块”和“命题联想系统”的算法化、显性化的两个具体做法.

        依据这个指导思想,本书挑选了初中数学的部分内容,精心选择和精心编排例题,并作精心的讲评,力图寻找解题的规律,使之有章可循.

        本书凝聚了老中青三代优秀教师的智慧(一位学生也参与了部分工作),特别是“解题模块:条件求值”、“别样观点:应用题教学”、“三角形中的中点问题”、“线段比的转换”、“图形运动中的不变量”、“联想与构造:‘以形助数’问题”、“回归本源:求点的坐标”、“数学方法:主元法”、“数学方法:特殊化”、“反应块:拆项添项和割补”等文不落俗套,匠心独具,亮点多多.

        本书的对象是初中数学教师,也可供中学生参考.本书选取的题大多属于中等或中等偏上的难度,可供平时教学参考,特别适用于初三复习及高中自主招生考试复习.

前言

 

        自从笔者和一些优秀的中青年教师合作的《数学习题教学研究》、《陈永明讲评数学题——高中习题归类研讨》出版后,得到了广大读者的好评,在此基础上笔者和一些优秀的中青年教师又写了这本书.算起来是笔者的第51本出版物了.

        习题教学是数学教学中的重灾区,学生陷入题海,苦不堪言;教师难于应付,身心疲惫,是到了应该想想办法的时候了.造成这种现象的原因是多方面的,但教师还是可以有所作为,并且应该有所作为.

        张景中院士十分关注中小学数学,并提出了“教育数学”的思想,他在谈到解题的时候,说过一段精彩的话:“练武功的上乘境界是‘无招胜有招’.但武功仍要从一招一式入门.解题也是如此……这种‘无招胜有招’的境界,就是‘大巧’吧!但是小巧果然不足取,大巧也确实太难,对于大多数学子,还要重视有章可循的招式……大巧法无定法,小巧一题一法.中巧呢,则希望用一个方法解出一类题目.也就是说,把数学问题分门别类,一类一类地寻求可以机械执行的方法,即算法.”

        笔者把它称为“中巧说”.笔者读了这番话之后,想法很多.

        笔者自忖,自己不过是中等资质的人,因此学习时需要总结类型.笔者从教50年,在进行教学时,也喜欢总结规律.那些大数学家,可能特别聪明,不要记忆,不要总结,仅凭灵感,就可以有所发现、有所创造.现在看来并不是如此.原来像张景中这样的院士——一流数学家学习解题时也是整理类型,寻找通法的,这样才能在较高的起点上研究创新.从这个意义上说,通法、类型(模式)和创新是不矛盾的.

        张院士的这番话,不但指出了要总结类型,而且要“寻求可以机械执行的方法,即算法”.这是数学教学的一个全新的观点,对改进数学教学意义重大.请注意,这里用了“算法”一词.

        算法的特征是什么?笔者理解,或许一是,“什么情况”下该用某种方法——识别;二是当识别结果是“yes”时,解决问题的步骤是怎样的.不少教师也总结规律,但往往达不到这样的深度.

        在《数学习题教学研究》那本书里,提出了把解题经验算法化、显性化的观点,提出了“解题模块”和“命题联想系统两个算法化、显性化的具体做法.前者是针对“某一类型”的题,寻找它的解题程序.但中学阶段的数学题不完全都有“套路”,譬如平面几何题,这时候,“中巧”可能体现在:你看到题目条件(或定理、法则)时,能够联想到它可以推出哪些新的命题;看到题目的结论时,联想到哪些命题可以推出它——即命题联想系统.

        本书实际上是《数学习题教学研究》的具体化.把初中数学题中某些类型、某些经验,尽量做些规律性,甚至程序化的归纳和点拨,特别是解题模块、命题联想系统(等价命题系统、上游命题系统和下游命题系统)、基本图形的研究等,是本书主要的特色.

        有同志担心,这样教法,会不会把学生教呆了.有这个担心是很自然的.

        首先,笔者认为,“中巧说”只是丰富多彩的数学解题教学中的一个流派,特别适合“大多数学子”,对于资优生,不能照搬.

        其次,张景中院士也主张中巧向大巧过渡.笔者主张寻找解题规律,但不要把规律教死,正像有的专家说的:要有套路,又要突破套路.对此我们也有一些思考.

        第一,我们强调师生共同总结,而不是教师将套路灌输给学生.师生共同总结,不但能够让学生掌握某类数学题的解法或思路,而且可以大大提高学生归纳总结的能力.上海老一辈的数学教育家赵宪初先生说过“要先举三反一,才能举一反三”.因此,本书各节的编写,总是先出现一组例题,然后归纳规律(举三反一),最后再出现一些变式例题和练习(举一反三).

        第二,笔者在《数学习题教学研究》中,提出分析解题思路时要“有序分析”,提出了“思考时通法优先,落笔时优法优先”,还提出了“先估后算”“寻找巧法”等策略.再加上其他的一些行之有效的措施,如一题多解、变式训练、渗透数学思想方法、开放题、课题学习,等等,中巧是可以向大巧过渡的.

        本书没有面面俱到,只是选取了部分专题进行了探讨.本书选取的题大多属于中等或中等偏上的难度,特别适合初三复习及高中自主招生考试复习使用.

        本书除了解题之外,还重视评议.评议采取多种形式.

        带总结性的评议我们标为“小结”;小一点的点拨标为“讲评”.这些评议,包括解题模块、命题联想系统的总结,解题思路的点拨,关键点的指出,教学建议,等等.有些小经验我们用箭头在文旁指出.个别文章,还加了“主编的话”.

        学习者的疑惑、错解的剖析,以及拓展,我们用“◆”标注.

        习题背景的分析,我们用“链接”标注.

        “评”是比“解”本身难得多的工作,特别是关于解题模块和联想系统的总结,由于水平的关系,可能做得还不够.

        笔者年事已高,虽然本书定名为《陈永明讲评数学题》,其实本人主要负责策划、审稿和统稿,各篇基本上由上海市西南位育中学、华东理工大学附中、上海市梅园中学等校的中青年教师执笔,最后由上海市西南位育中学副校长、特级教师邵翼如先生审读了全部书稿.执笔者都是十分认真的,许多稿子都经过了5、6遍的修改,有的甚至10遍,才得以定稿,总共历时一年多.编写过程中,几位副主编做了大量的工作,还得到了上海市西南位育中学张建中校长、华东理工大学附中童立贤校长、上海市梅园中学陶恩德校长、毛颖校长的大力支持.在此,对我的合作者,表示感谢.

 

        陈永明

        2013年3月于上海

        时年七十又二

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