解析几何(数学奥林匹克命题人讲座)

解析几何(数学奥林匹克命题人讲座)
ISBN: 
978-7-5428-5039-3/O.677
出版日期: 
2010-09
开本: 
32开
页码: 
256
定价(元): 
20.00
作者: 
黄利兵 陆洪文
  

目录

前言 / 1
第一讲 直线与圆 /1
§1.1 直线 /1
§1.2 圆的方程 /22
第二讲 圆锥曲线 /40
§2.1 椭圆 /40
§2.2 双曲线 /54
§2.3 抛物线 /78
§2.4 圆锥曲线的综合问题 /93
第三讲 射影变换 /114
§3.1 直线间的射影对应 /115
§3.2 圆锥曲线上的交比 /125
§3.3 极点和极线 /134
第四讲 仿射性质和度量性质 /142
§4.1 直径和共轭方向 /143
§4.2 焦点和准线 /153
§4.3 仿射对应 /161
第五讲 三线坐标系 /170
§5.1 点和直线的坐标 /171
§5.2 圆锥曲线 /181
§5.3 三角形的几何 /189
第六讲 复数方法 /198
§6.1 直线和圆 /199
§6.2 外心和垂心 /206
§6.3 垂极点 /214
参考答案及提示 /221

内容提要

前言

        解析几何,又称坐标几何,其主要特征是通过建立坐标系,利用代数或分析的手段来研究几何。它是许多现代数学分支如代数几何、微分几何等的基础。在高中数学中,它也是不可或缺的重要部分。
        有人认为,高中数学所触及的解析几何内容虽不少,仍比较浅显;即使在奥林匹克数学中,解析几何似乎也仅仅是一试的内容。如此认识解析几何是完全错误的。解析几何并非一味地死算,而是含有丰富的技巧和思想。理解这些技巧和思想,对于进入CMO以及今后进一步的学习都大有裨益。
        解析几何的历史可追溯至两千多年前的阿波罗尼乌斯(Apollonius),但将它的建立归功于笛卡儿(R.Descartes),已是目前的定论。事实上,与笛卡儿同时代的棣莫弗(A.de Moivre)对此也有重大贡献(注:我们在中学教科书中看到的棣莫弗公式就出自此人之手)。
        中学阶段解析几何的一个重要篇章是圆锥曲线。这个主题,无论是古希腊时代还是在射影几何兴旺发达的19世纪,都是异常丰富多彩的一页。在19世纪早期活跃的几何学家沙勒(M.Chasles)、彭赛列(J.V.Poncelet)和施泰纳(J.Steiner)等,对于圆锥曲线都有独到的研究,各自留下了以他们的名字命名的许多定理。本书将为读者展现这些定理中的沧海一粟。
        本书第一、二讲介绍了解析几何的基本内容,在高中知识(直线和二次曲线等)的基础上,列举了一些例题和习题,让我们充分体会到几何问题代数化的力量。特别是,当距离的平方出现在问题之中时,解析几何常常表现出更多的方便(比如证明到三角形三顶点距离的平方和最小的点是该三角形的重心)。而对于椭圆、双曲线和抛物线,目前也只能利用解析几何,如用纯粹的平面几何则太困难了。这说明,代数并非仅仅是几何问题的简单化、机械化,有时也是一种必不可少的延伸方法。这部分内容由同济大学数学系陆洪文撰写。
        第三讲介绍了一些简单的射影几何知识。我们并不打算介绍整个射影几何的宏大理论,而只把目光集中于那些看起来较为简单的定理。为此,我们选择了这样一条路线,从直线间的射影对应入手,过渡到圆锥曲线上的射影对应,并进而介绍极点和极线的理论。这与通常公理化的处理方式颇有不同之处。
        第四讲将站在射影几何的角度考察圆锥曲线的仿射性质和度量性质。读者将了解到,仿射几何与射影几何的区别,只不过是把无穷远直线从所有直线中独立出来而已。而相似几何只是进一步选定两个特殊点,即“圆点”。有了这些认识,圆锥曲线的直径、共轭方向、渐近方向、焦点和准线等都可通过射影概念加以定义。这也就为解题提供了一些新的思路。
        第五讲是前两讲的综合,它引进了新的工具,即三线坐标系。虽然三线坐标与重心坐标是完全平行的体系,但近年来重心坐标似乎更流行一些。在作者看来,三线坐标在表达某些几何条件时有明显的优势,但其短处在于经常需要进行三角函数的化简。在这里,我们提出了一些技术来解决这个问题,只是未构成系统的算法。
        最后一讲介绍的是复数方法,这是高中知识的加深。特别是关于垂极点和西姆森线等方面的内容,给我们耳目一新的感觉。
        后四讲可看做提高部分,由南开大学数学系黄利兵撰写。

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