数学桥——对高等数学的一次观赏之旅

数学桥——对高等数学的一次观赏之旅
ISBN: 
978-7-5428-4981-6/O.660
出版日期: 
2010-08
开本: 
16开
定价(元): 
59.00
作者: 
[美]斯蒂芬·弗莱彻·休森著
译者: 
邹建成 杨志辉 刘喜波等译,朱惠霖校
  

目录

序言

1.数 1
1.1计数 2
1.2实数 13
1.3复数及其高维同伴 22
1.4素数 31
1.5模整数 40

2.分析
2.1无穷极限 50
2.2无穷和的收敛与发散 59
2.3实函数 67
2.4对数函数和指数函数以及e 81
2.5幂级数 88
2.6π与分析学观点下的三角学 93
2.7复函数 102

3.代数 107
3.1线性性 108
3.2最优化125
3.3距离、长度和角度132
3.4几何与代数140
3.5对称153

4.微积分与微分方程169
4.1微积分的起因和内容169
4.2线性常微分方程175
4.3偏微分方程181
4.4微积分与几何相遇192
4.5非线性性205
4.6定性方法:不求出解的解法213

5.概率227
5.1概率论的基本概念227
5.2严格的概率论232
5.3样本空间上的函数:随机变量239
5.4极限定理256

6.理论物理265
6.1牛顿的世界266
6.2光、电、磁276
6.3相对论与宇宙的几何281
6.4量子力学294

附录A给读者的练习309
A.1数309
A.2分析317A.3代数326
A.4微积分与微分方程337
A.5概率349
A.6理论物理360

附录B阅读进阶370

附录C基本数学知识374
C.1集合374
C.2逻辑和证明375
C.3函数376
C.4向量和矩阵378
C.5微积分380
附录D字母与符号382
D.1希腊字母表382
D.2数学符号382
译者后记385

内容提要

前言

        大学数学难学是一个众所周知的事实,但它到底有多难,直到我开始学习大学数学时,我才明白.对于要把注意重点从高中数学中以重复性操练为基础的常规解题训练转移到作为真正数学的智力体操上来,我毫无准备。庆幸的是,在我的奋力拼搏下,我通过了最初几个月的学习,而且逐渐地开始理解正式讲课中无处不在的大量符号的含义。我发现,数学是一门既令人惊叹又让人愉悦的生机勃勃的学科,尽管它远在一条由形式化、简洁性和逻辑性构成的水流湍急、险象环生的大河的那一侧。
        几年以后,我在从事研究和讲授数学的过程中,发现一代又一代的数学家苗子仍在与我当初面临的同样问题作战。很自然,一些学生很突出,很快成了技巧娴熟的数学家。一些学生没能完成向更高层次数学的过渡,于是放弃,不再继续学习数学。其他一些学生很成功,这种“成功”在于能将符号搬来弄去,并在考试中取得高分,但是他们不具备任何有意义的数学悟性。第四类由有可能成为既技巧娴熟又聪颖过人的数学家的学生组成,但他们仍然觉得向更高层次数学的过渡很困难。这四类学生的共同之处是,他们都是有才能的学生,但他们在中学阶段没有接触更高层次的数学就进了大学。有那么多的学生最终归于后两类,这让我一直感到吃惊。
        进一步的调查发现,看来几乎没有一种图书资料能以一种清晰的、直观的,特别是以一种有趣的方式来提供这种过渡性材料。一方面,我们有着标准的教材。当然,这些教材是必需的,但从整体上讲它们也是内容非常密集、阅读非常困难、编排非常紧凑的东西,除了适用于专门的学习和参考外,其他什么都不适用。另一方面,还有许多精彩的“普及性”数学图书。然而,这些图书往往关注数学中十分前沿的尖端性研究论题,这种论题只与一小部分成功的数学家直接相关,而且只经过数年的研究。此外,这些图书往往不包含任何实在的数学细节;它们有点像在对数学进行观光,或对人类智能进行探视,对一个景点拍一张照,然后赶往下一个景点。虽然它们是长期灵感的重要来源,或者就是一种令人愉快的读物,但阅读这种图书几乎不需要数学技巧,人们也几乎不能从中得到任何数学技巧。
        我觉得这两个极端之间肯定可以有一个折衷点:一种真正的数学书,它表述内容的风格比通常的数学书更具有谈话性、更为直观而且更为亲切。由于这些原因,我灵感迸发,着手写这本书——一本杂交型的“普及性教科书”,一本我在从事数学家职业之前就应该乐于拥有的书。本书的目标很简单:
        以一种只需要基本的高中数学为起点的方式,发掘典型的数学学位课程中的核心元素和亮点.强调许多令人惊叹的结果所具有的自然之美和实用价值,同时保持数学上的纯正性。
        于是,经过数年的努力,这本书现已完成,我想让它适用于以下人群:
        ●有抱负的数学家,他们想更多地了解关于数学的真正艺术。
        ●数学专业本科毕业生,他们愿意阅读关于其大学数学课程中各个“亮点”的一种引人入胜的概览性读物。
        ●科学家、工程师和热情的业余爱好者,他们想知道数学家到底是干什么的。
        ●数学教师,他们希望对较高层次的内容有一种使人耳目一新的表述,以从中找到例子来激发自己和学生的灵感。
        ●进修高等数学概要或适合诗人的数学等课程的学生。
        就像刚才提到的,数学是难学的。这本书也不例外。由于所述概念的丰富性,阅读本书需要在脑力上付出高度的努力。在书中各个不同的地方,需要对附录中所详细叙述的数学知识有一个基本水平上的知晓或熟悉。然而,本书非常具有谈话性,而且各个部分相对独立,因此可以在不同的深度水平上阅读。而且,一个论题对另一个论题的依赖性也保持在最低水平。只要可能,每个新章节都从头讲起,所以如果某个领域变得太难懂了,或者不令你感兴趣了,你可以转到下一个领域。此外,为了避免破坏内容的流畅性或遗漏掉作为数学思想之基础的关键点,在一些地方我对某些技术性较强的细节略而不讲.但愿这些地方已被清楚地指明,而这些省略不会影响到大多数读者。
        数学是一种激动人心而又充满活力的艺术形式,我希望本书能给你带来对数学之真正意义的某种领悟。

        斯蒂芬·弗莱彻·休森
        2003年4月
 

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