数学奇观——让数学之美带给你灵感与启发

数学奇观——让数学之美带给你灵感与启发
ISBN: 
978-7-5428-6327-0/O·978
出版日期: 
2016-01
开本: 
16开
页码: 
308
定价(元): 
56.00
作者: 
【美】阿尔弗雷德·S·波萨门蒂
译者: 
涂泓
  

目录

第1 章数之美/ 1

1.1 令人惊讶的数的模式之一/ 3

1.2 令人惊讶的数的模式之二/ 5

1.3 令人惊讶的数的模式之三/ 6

1.4 令人惊讶的数的模式之四/ 8

1.5 令人惊讶的数的模式之五/ 9

1.6 令人惊讶的数的模式之六/ 11

1.7 惊人的幂次联系/ 12

1.8 美丽的数的联系/ 14

1.9 不寻常的数的联系/ 15

1.10 奇怪的等式/ 16

1.11 令人惊异的数1089 / 17

1.12 压抑不住的数1 / 22

1.13 完满数/ 24

1.14 友好的数/ 26

1.15 另一种友好的数对/ 28

1.16 回文数/ 29

1.17 形数的乐趣/ 32

1.18 美妙的斐波那契数/ 35

1.19 陷入无限循环/ 38

1.20 幂循环/ 40

1.21 阶乘循环/ 42

1.22 2 的无理性/ 44

1.23 连续整数之和/ 47

第2 章几个算术奇迹/ 50

2.1 乘以11 / 51

2.2 一个数何时能被11 整除/ 53

2.3 一个数何时能被3 或9 整除/ 55

2.4 除数为素数的可整除性/ 56

2.5 俄罗斯农民的相乘方法/ 61

2.6 乘以21、31 和41 的快速方法/ 64

2.7 聪明的加法/ 65

2.8 字母算术/ 66

2.9 可笑的错误/ 69

2.10 不寻常的数9 / 73

2.11 连续百分比/ 76

2.12 平均值平均吗/ 78

2.13 72 法则/ 79

2.14 求出平方根/ 81

第3 章解决方法出人意料的题目/ 83

3.1 考虑周全的推理/ 84

3.2 出人意料的解答/ 86

3.3 一道关于果汁的题目/ 87

3.4 倒过来做/ 89

3.5 逻辑思维/ 91

3.6 你该如何组织数据/ 92

3.7 专注于正确信息/ 94

3.8 鸽巢原理/ 96

3.9 大黄蜂的飞行/ 97

3.10 关联的同心圆/ 99

3.11 不要忽视显而易见的事情/ 101

3.12 看似困难(或容易)/ 103

3.13 考虑最糟情况/ 105

第4 章代数娱乐/ 106

4.1 用代数来构建简洁算法/ 107

4.2 神秘的数22 / 108

4.3 证明一种奇异现象的合理性/ 109

4.4 将代数用于数论/ 111

4.5 在形数中找到模式/ 112

4.6 用一种模式来求一列数之和/ 115

4.7 几何观点下的代数/ 117

4.8 黄金分割的代数应用/ 120

4.9 代数有时没有用/ 123

4.10 分母有理化/ 124

4.11 勾股数/ 126

第5 章几何奇观/ 130

5.1 三角形的内角和/ 131

5.2 五角星的角/ 133

5.3 关于π的一些令人难以置信的事情/ 138

5.4 无处不在的平行四边形/ 140

5.5 比较面积和周长/ 143

5.6 埃拉托色尼如何测量地球/ 145

5.7 令人意外的围绕地球的绳索/ 147

5.8 月牙形和三角形/ 150

5.9 无处不在的等边三角形/ 153

5.10 拿破仑定理/ 156

5.11 黄金矩形/ 161

5.12 用纸折出黄金分割/ 165

5.13 不正的正五边形/ 168

5.14 帕普斯的不变量/ 170

5.15 帕斯卡的不变量/ 172

5.16 布里昂雄对帕斯卡想法的巧妙推广/ 175

5.17 勾股定理的一种简单证明/ 177

5.18 用纸折出勾股定理/ 179

5.19 加菲尔德总统对数学的贡献/ 181

5.20 一个圆的面积是多大/ 184

5.21 两个三角形的独特布局/ 186

5.22 等边三角形中距离不变的点/ 188

5.23 九点圆/ 191

5.24 西姆森的不变量/ 195

5.25 切瓦的非常有用的关系/ 197

5.26 显然共点吗/ 200

5.27 欧拉多面体/ 202

第6 章数学悖论/ 205

6.1 一切数都相等吗/ 206

6.2 -1 不等于+1 / 207

6.3 不可除以0 / 208

6.4 一切三角形都是等腰三角形吗/ 209

6.5 一个无穷级数谬论/ 213

6.6 虚假无用的页边/ 215

6.7 令人迷惑的悖论/ 217

6.8 一个三角学谬论/ 218

6.9 理解极限/ 219

第7 章计数与概率/ 221

7.1 星期五是13 日/ 222

7.2 三思而后计数/ 223

7.3 没有价值的增长/ 225

7.4 生日配对/ 227

7.5 日历异趣/ 230

7.6 蒙提·霍尔问题/ 231

7.7 预期正面和反面/ 235

第8 章数学集锦/ 236

8.1 数学中的完满/ 237

8.2 美丽的幻方/ 239

8.3 悬而未决的问题/ 243

8.4 一个意料之外的结果/ 246

8.5 自然界中的数学/ 249

8.6 钟的指针/ 255

8.7 你在世界的何处/ 259

8.8 过桥/ 262

8.9 误解最深的平均值/ 265

8.10 帕斯卡三角形/ 268

8.11 一切都是相对的/ 272

8.12 推广需要证明/ 273

8.13 一条美丽的曲线/ 274

尾声/ 277

致谢/ 280

关于作者/ 281

内容提要

前言

        罗素*曾经写道:“数学不仅拥有真,而且拥有非凡的美,一种如雕塑般冷峻而朴素的美,一种屹立不摇的美。极其纯净,能够臻于一种不可撼动的极致,就如同只有最伟大的艺术才能呈现的那样。”罗素与怀特海** 合著了不朽的《数学原理》(Principia Mathematica),这本巨著无论如何都不能视为是一件艺术品,更不用说有什么非凡的美了,此罗素可能是彼罗素吗?我们该相信谁呢?首先让我这样说:我在几年前第一次读到这段陈述,我完全同意罗素的观点。不过,我在数十年前就独立地得出了相同的看法,当时我十一二岁,第一次听说有柏拉图多面体(它们是一些完全对称的三维图形,即所谓多面体,它们的各面、各边和各角全都相同——共有五种这样的多面体)。我当时正在阅读一本有关趣味数学的书籍,其中不仅有这五种柏拉图多面体的图片,还有可以方便地做出这些多面体的结构展开图。这些图片给我留下了非常深刻的印象。直到我做出了所有这五种多面体的硬纸板模型,我才得以安定下来。这是我的数学入门课。这些柏拉图多面体事实上(正如罗素说的那样)都具有非凡的美,与此同时,它们所体现的对称性对于数学具有重要的含义,对几何学与代数学都产生过重要影响。于是,从非常现实的意义上来说,可以认为它们提供了几何学与代数学之间的连接环。尽管我不能自称在大约70 年前就已理解了这种关联的全部意义,不过我认为可以公正地说,这一初次相遇激发了我随后70 年中对数学的热爱。我们的下一次相遇笼罩在时间的迷雾之中,不过我确定无疑地记得,这次相遇是与曲线有关的。当时我正沉迷于我在阅读过程中偶然发现的一条曲线(可能是心形曲线或是蔓叶线)的形状及其数学描述,以至于让我又一次不得安宁,直到我在两个月的暑假期间深入地探究了在百科全书中能够找到的所有曲线。那时我大概十三四岁。我发现它们的形状、无穷无尽的变化形式,以及各种几何性质,都具有无法描述的美。

        在那个永远难忘的夏天开始时,我还不能够理解一条曲线的方程意味着什么,这种方程几乎在每篇文章的开头都一成不变地出现。不过,如果你在两个月期间每天都花上四五个小时,那么你最终会理解一条曲线与其方程之间、几何学与代数学之间的关联,而这种关联本身就具有意义深远的美。同样也是以这种方式,我学习了解析几何,这个学习过程毫无痛苦,也毫不费力,事实上是一种乐趣,因为每一条曲线都揭示出其隐藏的宝藏——全都是美的,有许多是意义深远的。因此,那是一个我永远不会忘怀的夏天,这有什么好奇怪的呢?如今,摆线只不过是无穷多种不同曲线之一,这些曲线有的平坦,有的卷曲,它们所具有的大量特性,被罗素恰如其分地描述为“非凡的美”,并且“能够臻于一种不可撼动的极致”。本书给出的这些例子清晰地表明,数学这本伟大的书籍一直都展开在我们的眼前,而真正的哲学就写在其中(改写自伽利略的话)。读者们受邀去翻开并欣赏它。我再也不曾合上过它,这有什么好奇怪的呢?我想为你讲述这些美丽曲线中的一条,不过更加恰当的做法还是将此讨论归入这本精彩的书中的一节。因此,如果你希望看看在我年轻时激发起我对数学的兴趣的那类事物,那么请读一下8.13节。为什么我现在要讲述这些插曲?你即将开始阅读的是一本奇妙的书,它经过精心构思,以让读者你,并最终让你的学生们,产生对数学的兴趣。我们不可能确定某个读者会对什么内容感兴趣。对我而言,吸引我的是那些形状对称的立体图形和曲线;对你而言,情况可能会截然不同。不过,由于本书涉及广泛而多样的专题和主题,人人都会各得其所,也希望所有人都能收获良多。我和波萨门蒂博士共同合作过好几个写作项目,因此我非常了解他渴望向缺乏数学知识的人们展示数学之美的迫切之心。他带着令人钦佩的热情做这件事。这一点在本书中表露无遗,从对专题的选择开始(这些专题本身就非常引人入胜),到他清晰而舒畅的表述。他尽一切努力去避免让一个可能不熟悉的术语或者概念不经定义地溜过去。

        因此,你在本书中获得了能够唤起数学之美的所有材料,这些材料以一种浅显易懂的风格呈现出来——这就是本书的首要目标。让社会上更多的群体来与我们分享数学的美丽点滴,这是每一位数学家的愿望。就我而言,我将早期对数学的热爱带进了科学研究实验室,在那里,它为我提供了许多科学家所不具有的洞察力。对于数学结构的这种真正的热爱,让我得以解出了困扰化学界数十年之久的那些问题。1985 年,作为对我的工作的奖励,我获得了诺贝尔化学奖,对此我感到意外的荣幸。我后来得知,我是首位获得诺贝尔科学奖的数学家。所有这一切,都是早期深深爱上了数学之美的结果。也许本书会为你的学生们打开一些新的天地,而数学会在这些天地中向他们显露其独有的美。对于本书会以哪些方式为他们呈现那些新的理念或良机,你可能会惊喜不已。当你拥有了一个对学数学积极性大增的班级,带领着他们领略既美又有用的数学,那么你自己也会受益匪浅。

        豪普特曼(Herbert A. Hauptman)博士

        1985 年诺贝尔化学奖获得者

        豪普特曼-伍德沃德医学研究所主席兼首席执行官

        纽约州布法罗市

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