坎特伯雷趣题(加德纳趣味数学)

坎特伯雷趣题(加德纳趣味数学)
ISBN: 
978-7-5428-4110-0/O.466
出版日期: 
2007-09
开本: 
32开
页码: 
241
定价(元): 
17.00
作者: 
亨利·杜德尼
译者: 
陈以鸿
  

目录

括号里是答案的页码
译者前记 Ⅰ
序 言 Ⅲ
20世纪初英国的货币、邮票及计量单位 Ⅴ
编者说明 Ⅶ
导 言 1
一、 坎特伯雷趣题 15
 1 管家的趣题 16(153)
 2 赦罪僧的趣题 17(154)
 3 磨坊主的趣题 18(155)
 4 骑士的趣题 19(155)
 5 巴斯妇人的谜题 20(156)
 6 客店老板的趣题 21(157)
 7 牛津学者的趣题 22(157)
 8 织毯匠的趣题 23(158)
 9 木匠的趣题 23(158)
 10 扈从跟班的趣题 24(159)
 11 修女的趣题 25(159)
 12 商人的趣题 26(160)
 13 律师的趣题 27(161)
 14 织布工的趣题 28(162)
 15 厨师的趣题 29(162)
 16 传唤员的趣题 31(162)
 17 修士的趣题 32(163)
 18 水手的趣题 33(163)
 19 女修道院院长的趣题 34(164)
 20 医生的趣题 36(164)
 21 庄稼汉的趣题 37(166)
 22 平民地主的趣题 38(167)
 23 扈从的趣题 39(167)
 24 托钵僧的趣题 40(167)
 25 堂区长的趣题 41(168)
 26 缝纫用品商的趣题 42(169)
 27 染色工的趣题 44(171)
 28 托钵僧与传唤员的激烈争吵 45(171)
 29 乔叟的趣题 47(172)
 30 教士跟班的趣题 49(172)
 31 伙食管理员的趣题 50(173)
二、索尔范霍尔堡的那个趣题盛行的时代 52
 32 古曲棍球比赛 53(175)
 33 击环运动 54(176)
 34 贵族少女 54(177)
 35 箭 靶 55(178)
 36 城堡塔楼的窗户 56(179)
 37 新月形和十字形 57(180)
 38 护身符 59(181)
 39 旗杆上的蜗牛 60(181)
 40 伊莎贝尔小姐的珍宝盒 61(182)
三、谜泉的快乐修士们——他们的古怪趣题和疑谜 63
 41 鱼塘谜题 64(184)
 42 朝圣者谜题 65(184)  
 43 花砖壁炉谜题 66(185)
 44 萨克葡萄酒谜题 67(186)
 45 食品保管员谜题 68(186)
 46 十字军谜题 70(187)
 47 圣埃德蒙兹伯里修道院谜题 71(188)
 48 蛙环谜题 71(190)
四、 国王弄臣奇遁记——一次曲折离奇的历险 73
 49 神奇的绳索 74(192)
 50 地下迷宫 75(192)
 51 密码锁 75(193)
 52 渡过城壕 76(193)  
 53 御花园 77(194)
 54 架桥过沟 78(195)
五、 乡绅的圣诞节趣题聚会 80
 55 三只茶杯 81(196)
 56 十一枚便士 82(197)
 57 圣诞鹅 83(197)
 58 粉笔数字 83(198)
 59 尝尝葡萄干布丁 84(198)
 60 在槲寄生枝下 85(199)
 61 银 块 87(200)
六、 趣题俱乐部奇遇记 88
 62 似这像那的照片 89(201)
 63 康沃尔悬崖疑案 94(201)
 64 肇事逃逸的汽车 97(202)
 65 雷文斯登公园疑案 98(202)
 66 宝 藏 100(203)
七、 教授的趣题 103
 67 硬币趣题 104(205)
 68 邮票趣题 105(205)
 69 青蛙和玻璃杯 106(208)
 70 罗密欧和朱丽叶 107(208)
 71 罗密欧的第二次行程 109(209)  
 72 去求爱的青蛙 109(210)
八、 其他五花八门的趣题 111
 73 木柱戏 111(211)  
 74 被打碎的象棋盘 112(211)
 75 蜘蛛和苍蝇 114(212)
 76 困惑的酒窖管理员 115(213)  
 77 做旗帜 116(213)  
 78 捉猪 117(214)  
 79 三十一点游戏 118(215)
 80 中国铁路 120(215)  
 81 八个小丑 120(217)
 82 巫师的算术 121(217)
 83 丝带问题 123(219)
 84 日本妇人和地毯 123(223)
 85 朗鲍船长和熊 125(224)  
 86 周游英国 126(225)  
 87 芝罘济物浦趣题 127(226)  
 88 古怪的女卖主 128(227)
 89 报春花趣题 128(227)
 90 圆 桌 129(227)  
 91 五只茶叶罐 129(229)  
 92 四头肥猪 131(229)
 93 数字积木 131(230)
 94 狐狸和鹅 132(230)  
 95 鲁滨孙的桌子 133(232)
 96 十五座果园 135(232)
 97 困惑的水暖工 136(232)
 98 纳尔逊纪念柱 137(233)
 99 两名童仆 138(233)  
 100 在拉姆斯盖特的沙滩上 139(233)  
 101 三辆汽车 139(234)
 102 可倒立的幻方 140(234)
 103 地 铁 141(235)  
 104 船长和海蛇 141(235)  
 105 多加慈善会 143(236)
 106 爱冒险的蜗牛 144(236)  
 107 四个王子 145(237)
 108 柏拉图和九 146(239)
 109 画圈和打叉 148(239)  
 110 奥维德的游戏 148(239)
 111 农夫的牛 149(240)  
 112 格兰奇穆尔庄园大案 149(240)
 113 分割木块 151(241)  
 114 流浪汉和饼干 152(241)

内容提要

      本书作者亨利·欧内斯特·杜德尼(Henry Ernest Dudeney),英国数学家和数学趣题制作家,生于1857年(关于杜德尼的生年,一说1847年,一说1857年。译者比对有关资料,觉得后者比较可信。——译者注),卒于1930年。原著初版于1907年,当时名《坎特伯雷趣题和其他奇特问题》(Canterbury Puzzles and Other Curious Problems),2007年将是初版问世100周年。现据2002年第四版译出。
      本书以故事形式讲述114个趣味数学题和智力测验题。这些问题有的浅近,有的深奥,可供不同口味的读者阅读和练习。
      本书按故事情节分为八个部分,解答在全书后面。第一部分假托中世纪英国文豪乔叟(Geoffrey Chaucer,约1340—1400)名著《坎特伯雷故事》(Canterbury Tales)中人物在朝圣途中轮流讲故事消遣之事,设想他们又轮流出题求解,名曰“坎特伯雷趣题”,并以之作为书名。
      译者在翻译过程中曾参阅乔叟的原著及方重、黄杲炘两译本,获益匪浅。
      作者在书中往往模仿古英语表达方式或按不同人物身份有意写成不规范词句,译者限于理解水平,容有误译,希读者鉴谅。
      原书附有索引,大都系趣题类别或趣题名称如算术趣题、丝带问题等等,而专业词汇罗列不多,译者认为作用不大,故未予译出。又目录原只列出八个部分而略去114题详目,译本特全部列出,以便检索。
      读者如有批评意见,请寄出版社转告译者,以利改进。

                                                                 陈以鸿
                                                          2006年10月1日

前言

      在准备出版本书的这个新版本时,我最初想把少数看来趣味低俗的题目撤下,换上另一些趣题。但是再想想,我决定让这本书保持原来的样子,并对某些问题增加了有扩展内容的解答和一些简短的注释,因为这些问题让我在过去与一些感兴趣的读者进行了通信,他们希望获得更多的资料。
      我还编制了一份索引——这显然是查阅所需要的。本书的性质和形式本身不允许将趣题分类,但若干分类可从索引中找到。例如,如果哪位读者偏爱筹码移动问题、幻方,或关于组合与分组的趣题,他会发现这些问题在索引中是放在一起的,检索起来很方便(这份索引没有译出,但本译本提供了详细的目录。——译者注)。
      虽然本书中的问题与我另一本书《数学中的娱乐》(Amusements in Mathematics)【此书中译本由上海科技教育出版社分为两册(分别名《亨利·杜德尼的数学趣题》和《亨利·杜德尼的数学趣题续编》)出版。】——译者注)中的问题完全不同(除了有一两题只是略作改写或扩充外),它们都是自成体系的,但是我想,对于正好手头有这两本书的读者来说,如果我偶尔指引他去参阅后一本书中适于说明他当前所读内容的解答和分析,将是很有助益的。这样做,也使我可以不必重复自己说过的话。为简单起见,《数学中的娱乐》在本书中一律略称A.in M.。

                                                              亨利·杜德尼
                                                              1919年7月2日
                                                              于作者俱乐部

作者简介

精彩片段

      读过《弗洛斯河上的磨坊》(The Mill on the Floss)英国文学名著,作者艾略特(George Eliot,1819—1880)。这本书国内近年有伍厚恺译本(四川人民出版社1996年版)、祝庆英等译本(上海译文出版社1997年版)和孙法理译本(译林出版社2002年版)。——译者注)的人会记得,每当图利弗先生发现自己遇到什么小小的困难时,他总是唠叨着:“这是个令人伤脑筋的世界。”不容否认,事实上我们都被伤脑筋的问题团团围住,其中一些已被人类的智慧所征服,但是还有许多可说是无法解决的。所罗门(所罗门(Solomon),约公元前10世纪的古以色列国王,以睿智和贤明著称。下面的话引自《圣经·旧约全书·箴言》第30章第18、19节。其译文取自《圣经(普通话版)》。——译者注)这个人可说是一个最善于解难题的人了,他也不得不承认“有三件事使我感到神奇莫测,实际上有四件事是我难以理解的,它们是: 鹰怎样在天上飞,蛇怎样在石上爬,船怎样在海上往来,男女怎样相爱”。
      探索大自然的奥秘是所有人的欲望,只是我们选择的研究路线不同。许多人用他们漫长的一生时间去进行种种尝试,诸如将较贱的金属转化成金子,求取永动,找出治疗某些恶性疾病的方法,以及在空中航行。   从早到夜,我们永远面对着伤脑筋的问题。但是这类问题不断发生。那些通常为娱乐和消遣而设计的动脑筋问题可大致分为两类:建立在某一有趣或有意义的小原理上的智力趣题;和不含任何原理的智力趣题——例如将一张图随意切成小块,要求再拼起来,或者那种小孩子玩的简单把戏,即所谓“画谜”(例如,画一只眼睛,再加上L和&,其谜底就是island(岛屿),因为根据此画可读出eye,l,and。连起来读就成了island。——译者注)。前一类可说是适合于供健全男女娱乐,后一类无疑可介绍给智力低下的人。
      这个喜欢提动脑筋问题的奇特习性并非哪个种族或哪个历史时期所特有。对每一个曾经活在世上的智力正常的男人、女人和孩子来说,这种习性就是与生俱来的,尽管它的表现形式总是各各不同。至于提问题的人是一个像埃及的斯芬克司(斯芬克司(Sphinx),希腊神话中的带翼狮身女怪,常叫过路行人猜谜,猜不出即遭杀害。——译者注)那样的女怪、一名像希伯来传说中参孙(参孙(Samson),《圣经》人物,力大无比,曾出谜为难客人。——译者注)那样的出谜者、一位印度的苦行者、一位中国的先哲、一位西藏的圣雄(19世纪末20世纪初,英国政府一再否认中国对西藏拥有主权,并悍然两次发动侵藏战争。作者作为一名英国人,在这里把中国和西藏并列,显然是听信了英国政府的宣传。——译者注),还是一位欧洲的数学家,并没有什么差别。
      神学家、科学家和工艺家一直在努力解决伤脑筋的问题,而每一项体育竞赛、游戏和娱乐活动,都是由难度或大或小的问题构成的。孩子向他父母随口提出的问题,一名自行车车手坐在一台阶上暂歇时随口向另一名车手提出的问题,一名板球运动员在午餐时随口提出的问题,或者一名帆船运动员在懒洋洋地眺望着地平线时随口提出的问题,往往都是一种具有相当大难度的问题。总之,我们都在生命中的每一天相互提出动脑筋的问题,只是我们不一定意识到。
      一个好的动脑筋问题需要我们运用最好的才能和智慧,而且,虽然具有一定的数学知识和对逻辑方法具有某种程度的熟悉往往十分有助于解决这些问题,但有时一种天生的狡狯和睿智也会相当有用。因为很多最好的问题不能用任何熟知的书本方法解决,只能循着完全原创的思路求解。因此人们在经过长期而丰富的体验之后,发现那些仅仅是生性机灵的人们,解起特殊的难题来有时比受过良好教育的人更为拿手。在象棋(本书中的象棋一律指国际象棋。——译者注)和跳棋这种动脑筋的竞赛中,最佳的运动员并不是数学家,尽管他们往往很可能有着未经开发的数学头脑。
      一个好的动脑筋问题对于这么多的人具有这么大的诱惑力,这很令人惊奇。我们知道这种问题并不重要,但是我们非征服它不可。一旦我们成功了,即使没有什么奖品可赢得,那种愉快和满足感也足以补偿我们所经受的磨难。这种使很多人感到不可抗拒的神奇魅力是什么呢?为什么我们愿意大伤脑筋呢?奇怪的事情是,谜底一旦被揭开,兴趣照例就消失了。我们做了,这就够了。可是我们为什么总是要去做呢?
      答案就是,寻求解答给了我们愉悦——在为求解而求解直至求得解答的过程中,始终充满着愉悦。一个好的动脑筋问题,就同美德一样,其本身就是回报。人们喜欢接受奥秘的挑战,而且要到解开这个奥秘之后,才会完全高兴。我们从来不愿意觉得自己的智力低于周围的人们。竞争精神是人类所固有的,它激励着幼稚孩童在游戏或学习中不输给同伴们,并使人们长大后成为伟大的发现者、发明家、演说家、英雄、艺术家,或许还会成为百万富翁(如果他们在物质目标上有更多追求的话)。
      在开始漫游疆域辽阔的智力趣题王国时,我们最好记住,我们将要遇到的兴趣点是多种多样的。我将利用这种多样性。人们常常错误地把自己局限在这王国的小小一隅,从而失去在他们周围伸手可及的地方获得其他愉悦的机会。有的人只喜欢离合诗谜(离合诗,亦译藏头诗。这种诗的每行头一个(或其他指定位置的)字母(或单词)连起来可组成一个单词或词组(或一句话)。离合诗谜即要通过离合诗的启发去求解的谜。——译者注)和其他文字游戏,有的人只喜欢绞脑汁的数学题,还有的人只喜欢象棋的排局问题(这仅是象棋棋盘上的智力题,与象棋比赛没有什么实际关系),等等。这些都是错误的,因为这样就限制了人的乐趣,忽视了对增强脑力大有好处的多样性。
      解智力趣题的确有一种实际的用处。人们认为,经常操练对增强脑力是必需的,就如同它对保持身体健康也是必需的一样,而且在这两种情况下,使我们获益的与其说是我们所做的事,不如说是做事这一行动本身。被医生认为是对身体有好处的每天散步,或者对脑子有好处的日常操练,其本身看来可能很浪费时间,但归根结底是绝对合算的。史密斯(史密斯(Albert Smith,1816—1860),英国作家。擅长幽默小说。——译者注)在他的一部娱乐性小说中描写了一位妇女,她确信自己被 “布在大脑上的知愁网”(原文是“cobwigs on the brain”。其中cobwigs一词,根据上下文,似为cobwebs(蜘蛛网)之误读。现用谐音字译出,表示误读。——译者注)弄得痛苦不堪。这可能是一种很少见的病症,但在一种更具有隐喻性的意义上,我们中许多人非常容易让自己的智力被蜘蛛网结满,而且除了通过求解智力趣题和其他问题来扫除它们,别无他法。这些问题使大脑保持清醒,刺激想象力,开发推理能力。它们不仅以这种间接的方式有益于我们,而且时常直接帮助我们,即教给我们一些小诀窍和小“点子”,它们可在最想不到的时候以最想不到的方式用于日常事务。
      在菲茨奥斯伯恩(菲茨奥斯伯恩(Thomas Fitzosborne),真名梅尔莫思(William Melmoth,1710—1799),英国作家。著有《托马斯·菲茨奥斯伯恩爵士关于若干问题的通信》 (The Letters of Sir Thomas Fitzosborne,on Several Subjects)。——译者注)那古雅的书信中,有一处地方对智力趣题的赞美很有趣。摘要如下:“关于制作和求解智力趣题的独创性研究无疑是最需要掌握的一门学问,应该在男人们和女人们所深思的对象中占有一席之地。这的确是一门艺术,我想建议两所大学(可能指英国的牛津大学和剑桥大学。——译者注)都去促进它,因为它提供了最容易和最简单的方法去传播一些最有用的逻辑原理。一位很聪明的君主(指古罗马皇帝提比略(Tiberius,公元前42—公元37)。——译者注)说过这样的箴言:‘不懂得如何作伪的人,是不懂得如何统治的。’我要求你们接受我的箴言:‘不懂得如何出谜解谜的人,是不懂得如何生活的。’”
      好的智力趣题是怎样创制出来的?我指的不是离合诗谜、变位字谜(要求将一英文单词(词组)的字母重新排列,以构成一新的单词(词组),并满足一定条件。如将listen变为silent。——译者注)、哑谜猜字(即用动作、图画等表示谜面的字谜游戏。——译者注)等等,而是指包含一种原创思想的智力趣题。是的,你不能奉命创制出一道好趣题,正像你不能如此创造出任何别的东西一样。关于智力趣题的灵感是在奇怪的时候以奇怪的方式出现的。它们是受到我们看见或听见的东西的启发,并由进入我们注意范围的其他智力趣题所引导出来的。说“我要坐下来静心创制一道原创性的趣题”是没有用的,因为根本没有办法创造出一个主意来;你只能在一个主意出现时采用它。你或许以为这是错误的,因为一位擅长这些事情的专家会制作出几十道趣题,而另一个同样聪明的人,正如我们所说的,即使“要他的命”,也是一道作不出。解释很简单。专家凡看到一个主意就认识了它,并且能根据长期的经验判断出它的价值。想法丰富,和技巧娴熟一样,也是从实践中来的。
      有时候,一个非常有趣的新主意是因为有人在另一道趣题上搞错了而启发出来的。一名男孩要解一道一位朋友给他的趣题,可是他对他该做的事情产生了误解,竟然着手努力去做大概每个人都会告诉他不可能做成的事情。但他是一个有志气的孩子,他断断续续地坚持做了六个月,居然成功了。他的朋友看到这个解答,就说,“这不是我说的趣题,你误解了,但是你发现了一些远为伟大的东西!”那名男孩偶然发现的这道趣题于是写进了所有古老的趣题集。
      一个足智多谋的人,只要有一个主意,他手中的几乎任何东西都可以用来制作趣题。硬币、火柴、纸牌、筹码、几段金属线或绳子,都可以派上用处。有一大批趣题是用字母,以及根据那九个小小的数码以及零,即1、2、3、4、5、6、7、8、9、0制作出来的。
      应该永远记住,一个头脑很简单的人会提出一个如果能解也只有聪明的头脑才解得出的问题。一个孩子问:“上帝什么事都能做吗?”在得到一个肯定的答复后,她立即说:“那么他能不能造出一块重得连他都举不起来的石头呢?”很多头脑清醒的成年人也不能立即想出一个令人满意的答案。然而难处只是在于这个问题那荒谬但狡猾的形式。这个问题实际上等于在问:“这位全能者能不能破坏他自己的全能?”这有点像另一个问题:“如果一个不可抵挡的运动物体与一个不可能运动的物体相接触,将发生什么结果?”这里我们只是有一个术语上的矛盾,因为如果存在着不可能运动的物体这样一种东西,那么就不可能同时存在一个没有东西能抵挡其运动的物体。
      廷德尔(廷德尔(John Tyndall,1820—1893),英国物理学家。主要贡献在热学和光学,以及磁场中晶体的状态等方面。——译者注)教授常邀请孩子们向他提出伤脑筋的问题,其中有一些是非常难啃的硬骨头。一个孩子问他,为什么一条毛巾浸入水中的部分比干燥部分颜色深。有多少读者能给出正确的答案呢?很多人满足于对动脑筋问题的那些最可笑的答案。如果你问:“为什么我们隔着玻璃能看见东西?”十个有九个会回答:“因为它是透明的。”这显然只是“因为我们隔着它能看见东西”的另一种说法而已。
      智力趣题的不同样式多得无穷无尽,以至于我们有时很难将它们明确地分类。它们的性质往往互相融合,因此我们至多只能把它们分成几个宽泛的类型。为了说明我的意思,让我们看三四个例子。
      首先是古老的谜语,解出它们靠的是发挥想象和运用幻想。读者们会记得斯芬克司之谜,这个维奥蒂亚(维奥蒂亚(Botia),又译皮奥夏或比奥夏,希腊中东部一地区。——译者注)的怪物给当地居民出了一些谜语,如果他们解不出,她就把他们吞吃掉。据说如果她的一个谜语被正确地解出,她就自杀。这个谜语是这样的:“什么动物早晨行走用四条腿,中午用两条腿,晚间用三条腿?”俄狄浦斯(俄狄浦斯(dipus),希腊神话人物。曾在不知情的情况下,弑父娶母。故心理学上称恋母情结为“俄狄浦斯情结”。——译者注)解开了这个谜语,他指出人在生命的早晨用双手和双脚行走,在生命的中午直立行走,在晚年则因体弱而用拐杖来支撑身体。斯芬克司听到这一解答,便把头朝一块石头上撞去,立即死亡。这说明智力趣题解答者有时真是很有本事。
      其次是参孙提出的谜语。这或许是在这方面开纪录的第一次有奖竞赛,谁给出正确解答,谁就可得到这些奖品:三十套里衣和三十套外衣。这谜语是这样的:“吃的从吃者出来,甜的从强者出来。”答案是:“一头死狮子体内的一个蜂房”(据《圣经·旧约全书·士师记》,参孙曾撕裂一只狮子,见狮子体内有一群蜜蜂和蜂蜜,就用手取蜜,且吃且走。后参孙受此启发,出了这个谜语。——译者注)。今天这种谜语依然存在,不过换了一种形式:“小鸡为什么越过马路?”大多数人的答案是“为了到对面去”,但正确答案是“为了跟汽车司机捣蛋”。它们现在已经退化为通常仅以一种双关妙语为基础的趣题。例如,我们从小就被人问道:“门何时不是门?”在这里,通常提供的答案(“当它半开着的时候”(原文为“When it is ajar”。若把ajar(半开着)拆开来读成 a jar(一只罐子),这个句子的意思就成了“当它是一只罐子的时候”。——译者注))又是错误的。正确答案应该是“当它是一个女黑人(一个出口)的时候”(原文为“When it is a negress (an egress)”,其中a negress(一个女黑人)与an egress(一个出口)发音相同。——译者注)。
      有一大类字母趣题,它们是以所用文字的小小特色为基础的,例如变位字谜、离合诗谜、四方连词(即把字母排成一个方阵,使得每行每列都能形成一个单词,而且同序号的行和列所形成的单词相同。——译者注)和哑谜猜字。在这类趣题中还有回文字谜,回文就是倒读和顺读都一样的单词或句子。如果亚当用回文句子向夏娃作自我介绍(注意是用英文)这件事是真的,那么回文的历史应该是很古老的:亚当说“Madam, Im Adam”(“小姐,我是亚当”。——译者注),他的这位伴侣腼腆地用回文词答道“Eve”(“夏娃”。——译者注)。
      接下来我们有一大类五花八门的算术趣题。这类趣题包罗广泛,从代数学家认为不过是很容易直接解出的“简单方程”,直到优美的数论领域中那些最深刻的问题。
      其次我们有几何趣题,其中一个令人喜爱的古老分支是关于剖分的趣题,即要求将一个平面图形分割成若干块,然后将它们拼成另一图形。在街上和玩具店里出售的大多数用金属丝做成的智力游戏玩具,则与位置几何有关。
      但是上述这些类型远没有把各种各样的趣题都包括在内,即使我们把同时属于好几类的趣题也算进来。有许多巧妙的器具型趣题无法分类,因为它们别具一格:有逻辑方面的、象棋方面的、跳棋方面的、纸牌方面的、多米诺骨牌方面的趣题,而每一种小戏法也无非是一道智力趣题,它的解答是表演者竭力要掩藏的。   有一些趣题看来容易而且确实容易,有一些趣题看似容易其实困难,有一些趣题看来困难而且确实困难,有一些趣题看似困难其实容易。在每一类中,我们当然可以有难易程度。但是不能因此就说,一道趣题,如果其条件连小孩子都很容易理解,那它就一定是容易的。事实上,这样的一道趣题可能在不知深浅的人看来是简单的,但当他真的去求解时,就会发觉它原来是一根难啃的硬骨头。
      举个例子,如果我们写下十九个1,形成这样的一个数:1 111 111 111 111 111 111,然后要找到一个能整除它的数(1或这个数本身除外),虽然条件很简单,做起来却非常困难。世界上还没有人知道这数究竟有没有因数。如果你能找到一个,你就做成了别人从没能做成的事情(参阅第198页(本书第189页——译者注)的脚注。——原注)。
      由十七个1组成的数11 111 111 111 111 111只有这样两个因数:2 071 723和5 363 222 357,找出这两个因数是一件极端繁重的工作。仅由1组成的数当中,我们确实知道没有因数的,只有11(目前已知,除了11以外,分别由19个1、23个1、317个1、1031个1组成的数也是素数。——译者注)。当然,这样的数称做素数。
      “做事之道,总有正误。”这句箴言在一种十分明显的程度上适用于趣题的求解。这里所指的“误道”,就是毫无章法地进行无目的的尝试,希望碰巧找到答案——这样做的结果一般是掉入专为我们设置的陷阱之中无望地挣扎。
    不过,偶尔会有一个问题具有这样的性质:它通过尝试可立即解出,但通过纯粹推理过程去做则是很难的。然而在大多数场合,只有后一种方法才能给人以真正的愉悦。
      当我们坐下来解一道趣题时,首先要做的事情是尽可能保证我们了解了所给的条件。因为如果我们不了解我们该做什么,我们就不大可能做得成功。我们都知道有一个故事,其中一个人被人问道:“如果一条半鲱鱼的价格是三枚半便士硬币,那么一打鲱鱼的价格是多少?”这个人试答了几次都没有答对,就放弃了。这时提问的人向他说明,一打鲱鱼的价格应该是一先令。这个人追悔莫及地叫道:“鲱鱼!我把它当鳕鱼来算了!”
      要将一道新趣题中的条件用言词表达得一眼看上去既清楚又确切,并且不至于啰唆得使其中所含的趣味完全丧失,这里所需要的仔细小心有时是读者所不能想象的。记得有一次我提出一个问题,要求用“尽可能少的直线”做成某事,有一个或许很聪明或许很愚笨(我不能断定到底是哪一种)的人说他只用一条直线就解决了,因为像他所说的那样:“我已经仔细地把其余所有的直线都弄弯了!”谁会预料到竟有这样的强词夺理呢?
      这样,如果你出一道“渡河”趣题,其中规定有一些人要乘一艘船过河,而这艘船只能容纳一定的人数或一定的人员组合,而这位试图求出解答的人恰恰不能克服其中的困难,那么他就会肆无忌惮地用一根绳子把船拉过去。你说不许用绳子,他就退而去利用河中的一股水流。我曾经认为我在这一类的某一道趣题中已经把所有这些鬼花招都仔细地排除了。但是一名自以为聪明的读者竟让所有的人游泳过河,根本用不着船!当然,有少数几道趣题是有意让人们用这种鬼花招解决的。如果不用这种花招就没有解,那么这种做法是完全合法的。我们必须用我们最佳的判断力来判断一道趣题究竟有没有什么机关;但是我们决不应该急于假定它有机关。就条件进行强词夺理是试图求解而遭到失败的人的最后一招。
      有时人们会对词义奇妙地稍加曲解来设法迷惑你。最近有一个人向我提出了这个人们熟悉的老问题:“一名男孩绕着柱子走,柱子上有一只猴子,但是当男孩行走时,猴子就在柱子上转身,使它总是和男孩面对面。这名男孩是不是绕着猴子行走?”我回答道,要是他先告诉我他关于“绕着走”的定义是什么,我就告诉他答案。他当然不同意,这样不论我怎么回答他都可以算我错。我就说,按照通常且正确的词义,可以十分肯定地说男孩是绕着猴子走的。果不其然,他反驳说不是如此,因为他把“绕着走”理解成走的时候能看见被绕东西的所有各面。对此我明确地回答道,照他这么理解,盲人是不可能绕着任何东西走的。
      他于是修正他的定义,说真正看见所有各面并不重要,但是你在用这种方式行走时,只要有视力,就能看见所有各面。这么说来,结果就是你不能绕着一个被关闭在箱子中的人行走!如此等等。整个事情愚蠢得令人发笑,如果一开始你就很恰当地除了关于“绕着走”的简单而正确的定义以外拒绝承认任何其他定义,就不会有什么令人费神的事,你也可以避免一场无聊而且往往很激烈的争论。
      当你掌握了你的条件,你总要看看它们是不是就不能简化了,因为这样可以排除很多混淆。很多人对这样一个老问题感到为难:提问题的人指着一张肖像说:“我没有兄弟姐妹,但是这个人的父亲是我父亲的儿子。”画像中的人与说话的人是什么关系呢?这时你要作简化,说“我父亲的儿子”必然是“我自己”或“我兄弟”。但是因为说话的人没有兄弟,这显然是“我自己”。于是简化后的说法不过是“这人的父亲是我自己”,这显然是他儿子的肖像了。然而,人们常为这个问题几小时几小时地争论不休!
      在趣题王国的许多分支领域中,有一些谜一直没有被解开。我们来考察数字世界中的几个例子——它们是一些小事情,其条件连小孩子都能懂,但是最伟大的头脑也不能把握。人人都听到过这样的话:“这与化圆为方一样难”,虽然很多人对这话的意思糊里糊涂。如果你有一个直径给定的圆,希望求出与这圆正好面积相同的一个正方形的边长,你就遇到了化圆为方的问题。当然,这件事不可能做得绝对精确(虽然我们可以得到一个对所有实际目的来说足够精确的答案),因为不可能用精确数字说出直径与圆周的比是多少。但这件事只是到了近代才被证明为不可能,因为没有能力完成某项工作是一回事,而证明它不可能完成则完全是另外一回事。现在只有不学无术的狂人才会浪费时间去试图化圆为方。
      还有,我们永远不能精确地用数字度量正方形的对角线。如果你有一块窗玻璃,每边正好一英尺长,从一个角到其对角之间的那段距离正对着你的面孔,但是你永远无法用精确数字说出这条对角线的长度是多少。头脑简单的人会立即建议我们先取对角线,比如说让它正好有一英尺长,然后构造我们的正方形。是的,你可以这样做,但是这样一来,你就永远无法精确地说出边长是多少。你可以在任一方面得手,但不能在两方面都得手。
      我的读者们都知道幻方是什么。从1到9这些数字可安排在一个由九个格子组成的正方形内,使每行、每列和每条对角线上的数字加起来都是15。这件事是很容易的,而且做起来只有一种方式,因为我们没有把让正方形仅作一旋转和用一面镜子仅作一反射所得的安排方式算作不同的方式。可是如果我们想要作出一个由从1至16这16个数字组成的幻方,则做起来可以有880种不同方式,仍然不计旋转和反射。这一点已经在近年得到最后证明。但是用从1至25这25个数字可以作成多少个幻方,无人知道。我们必须在某些方面扩展我们的知识,才有希望解决这个难题。不过令人意外的是,人们发现,把这种幻方仅局限于某一特殊类型,就可以作成不多不少174 240个——这种类型就是镶边正方形,它内部那个由九个格子组成的正方形也是一个幻方。我已经证明,只要将每个镶边正方形——通过一个简单的规则——转换成非镶边正方形,这个数目马上就可以增加一倍。
      有人曾徒劳地用所谓“马步巡游”(knights tour)去构造一个幻方,即在象棋棋盘上将马依次走到的方格用1、2、3、4等数字标明。但这样做了之后,那两条对角线却不能满足条件,于是一切努力就此却步。但是不能肯定这件事一定做不成。
      虽然本书的内容基本上是完全原创的,但是也会发现有少数几个老朋友;不过它们已经披上新装,我相信它们不会不受到欢迎。这些趣题难易程度不一,而且性质各各不同,因此每一个真正的趣题爱好者都能找到大量令人感兴趣——还可能有教益——的资料,或许这并不是一种奢望。在有些场合,我用相当长的篇幅讲述解题方法,但在其他时候,我不得不只给出答案而已。要是对每一道趣题都给出完全的解答和证明,那么不是势必删去一半问题,就是势必大大增加书的篇幅。我所采用的这种方案是有优点的,因为这可以给数学迷们留出自行分析的余地。即使在我已经为趣题的解答给出一般公式的场合,读者也可自行检验这些公式,从而获得很大的乐趣。

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