初等数论(数学奥林匹克命题人讲座)

初等数论(数学奥林匹克命题人讲座)
ISBN: 
978-7-5428-4767-6/O.596
出版日期: 
2010-02
开本: 
32开
页码: 
289
定价(元): 
21.00
作者: 
冯志刚著
  

目录

第一讲整除理论
1.1整数 /1
1.2整除的概念与基本性质 /3
1.3最大公因数与最小公倍数 /7
1.4素数与合数 /12
1.5算术基本定理 /19

第二讲同余理论
2.1同余的概念与基本性质 /34
2.2同余类与剩余系 /39
2.3费马小定理与欧拉定理 /45
2.4拉格朗日定理 /54
2.5威尔逊定理 /59
2.6中国剩余定理 /64

第三讲指数与原根
3.1指数的概念与性质 /74
3.2原根的概念与性质 /82

第四讲不定方程
4.1一次不定方程(组) /93
4.2勾股方程 /103
4.3佩尔方程 /113
4.4不定方程的常用解法 /127

第五讲专题讨论
5.1数的进位制 /143
5.2高斯函数及其应用 /152
5.3平方和 /166
5.4完全数 /176
5.5数论中的存在性问题 /182

参考答案及提示 /197

内容提要

     这套书当然会有一定的深度,一定的难度。但作者是命题人,充分了解问题的背景(如刘培杰先生就曾专门研究过一些问题的背景),写来能够深入浅出,“百炼钢 化为绕指柔”。另一方面,倘若一本书十分浮浅,一点难度没有,那也就失去了阅读的价值。
     读书,难免遇到困难。遇到困难,不能放弃。要顶得住,坚持下去,锲而不舍。这样,你不但读懂了一本好书,而且也学会了读书,享受到读书的乐趣。
     书的作者,当然要努力将书写好。但任何事情都难以做到完美无缺。经典著作尚且偶有疏漏,富于原创的书更难免有考虑不足的地方。从某种意义上说,这种不足毋宁说是一种优点:它给读者留下了思考、想象、驰骋的空间。

前言

      读书,是天下第一件好事。书,是老师。他循循善诱,传授许多新鲜知识,使你的眼界与思路大开。书,是朋友。他与你切磋琢磨,研讨问题,交流心得,使你的见识与能力大增。书的作用太大了!这里举一个例子:常庚哲先生的《抽屉原则及其他》(上海教育出版社,1980年)问世后,很快地,连小学生都知道了什么是抽屉原则。而在此以前,几乎无人知道这一名词。读书,当然要读好书。常常有人问我:哪些奥数书好?希望我能推荐几本。我看过的书不多。最熟悉的是上海的出版社出过的几十本小册子。可惜现在已经成为珍本,很难见到。幸而上海科技教育出版社即将推出一套“数学奥林匹克命题人讲座”丛书,帮我回答了这个问题。这套丛书的书名与作者初定如下:陆洪文《解析几何》施咸亮《代数函数与多项式》熊斌《函数迭代与函数方程》陈计季潮丞《代数不等式》曹纲叶中豪《重心坐标与平面几何》冯志刚《初等数论》单墫《集合与对应》《数列与数学归纳法》刘培杰《组合问题》任韩田廷彦《图论·组合几何》唐立华《向量与立体几何》邵嘉林《复数·三角函数》显然,作者队伍非常之强。老辈如陆洪文先生、施咸亮先生都是博士生导师。他们不仅在代数数论、函数逼近等领域的研究上取得了卓越的成绩,而且十分关心数学竞赛。中年如陈计先生于不等式,叶中豪先生于平面几何,都是国内公认的首屈一指的专家。其他各位也都是当下国内数学奥林匹克的领军人物。如熊斌、冯志刚是2008年IMO中国国家队的正副领队、中国数学奥林匹克委员会委员。他们为我国数学奥林匹克做出了重大的贡献,培养了很多的人才。2008年9月14日,“国际数学奥林匹克研究中心”在华东师范大学挂牌成立,担任这个研究中心主任的正是多届IMO中国国家队领队、华东师范大学数学系副教授熊斌。又如邵嘉林先生,他指导过的张成同学获得了第49届IMO的金牌。这些作者有一个共同的特点:他们都为数学竞赛命过题。如:设数a具有以下性质:对于任意四个实数x1,x2,x3,x4,总可以取整数k1,k2,k3,k4,使得∑1≤i<j≤4((xi-ki)-(xj-kj))2≤a,求这样的a的最小值。这是施咸亮先生供给我国国家集训队选拔的试题。又如:设S={1,2,…,2005}。若S中任意n个两两互素的数组成的集合中都至少有一个素数,试求n的最小值。这是唐立华先生供给西部数学奥林匹克的试题。叶、熊、冯等几位先生供给竞赛的题举不胜举,这里就不罗列了。命题人讲座,是田廷彦先生的创意。命题人写书,富于原创性。有许多新的构想、新的问题、新的解法、新的探讨。新,是这套丛书的一大亮点。读者一定会从这套丛书中学到很多新的知识,产生很多新的想法。新,会不会造成深、难呢?这套书当然会有一定的深度,一定的难度。但作者是命题人,充分了解问题的背景(如刘培杰先生就曾专门研究过一些问题的背景),写来能够深入浅出,“百炼钢化为绕指柔”。另一方面,倘若一本书十分浮浅,一点难度没有,那也就失去了阅读的价值。读书,难免遇到困难。遇到困难,不能放弃。要顶得住,坚持下去,锲而不舍。这样,你不但读懂了一本好书,而且也学会了读书,享受到读书的乐趣。书的作者,当然要努力将书写好。但任何事情都难以做到完美无缺。经典著作尚且偶有疏漏,富于原创的书更难免有考虑不足的地方。从某种意义上说,这种不足毋宁说是一种优点:它给读者留下了思考、想象、驰骋的空间。如果你在阅读中,能够想到一些新的问题或新的解法,能够发现书中的不足或改进书中的结果,那就是古人所说的“读书得间”,值得祝贺!我们欢迎各位读者对这套丛书提出建议与批评。感谢上海科技教育出版社,特别是编辑卢源先生,策划组织编写了这套书。卢编辑认真把关,使书中的错误减至最少,又在书中设置了一些栏目,使这套书增色很多。
                                                                                                                                      单墫
                                                                                                                                      2008年10月

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